Задача 59417 ...

Паллин Сергей

24 апреля 2021 г. в 11:47

Решите неравенство: (x–7)log_x+5(7–2x) ≥ 0

exponenta

24 апреля 2021 г. в 12:00

★

ОДЗ:
$\left\{\begin {matrix}x+5>0\\x+5 ≠1\\7-2x>0 \end {matrix}\right.$ ⇒ $\left\{\begin {matrix}x>-5\\x ≠-4\\x<3,5 \end {matrix}\right.$

x ∈ (–5;–4)U(–4;3,5)

Решаем неравенство методом интервалов.

x–7=0 ⇒ x=7

log_x+5(7–2x)=0 ⇒ 7–2x=1 ⇒ x=3


x=3 и x= 7 – нули функции. При переходе через нуль функция меняет знак.


Расставляем знаки функции на ОДЗ

(–5) _____ (–4) ________ [3] ______ (3,5)

Например, при x=0

(0–7)·log₅7 <0

Ставим минус

(–5) _____ (–4) ____–____ [3] ______ (3,5)


При переходе через нуль функция меняет знак. Ставим +

(–5) _____ (–4) ____–____ [3] ___+___ (3,5)


При переходе через точку x=–4 функция тоже меняет знак ( это точка разрыва функции, как 0 у гиперболы)

меняем знак

(–5) ___+__ (–4) ____–____ [3] ___+___ (3,5)

О т в е т. (–5;–4)U[3;3,5)



Или второй способ решения.

Согласно ОДЗ

x–7 <0, значит и второй множитель отрицателен


Решаем неравенство:

log_x+5(7–2x) ≤ 0

0=log_x+51


log_x+5(7–2x) ≤log_x+51


Если
x+5 >1 логарифмическая функция возрастает:

7–2x ≤ 1


Если
0<x+5 <1 логарифмическая функция убывает

7–2x ≥ 1


Из двух систем с учетом ОДЗ получаем ответ:

$\left\{\begin {matrix}x+5>1\\7-2x ≤ 1 \end {matrix}\right.$ или $\left\{\begin {matrix}0 <x+5<1\\7-2x ≥1 \end {matrix}\right.$