Задача 59364 ...

lunarwavi4

22 апреля 2021 г. в 00:00

(x–2)(x–4)–5(x–2)√((x–4)/(x–2)) =(a–2)(a+3) Найти значения параметра а,при которых равенство имеет только один корень

exponenta

23 апреля 2021 г. в 17:18

★

[m](x–2)(x–4)–5(x–2)\sqrt{\frac{x–4}{x–2}} =(a–2)(a+3)[/m]

ОДЗ:
[m]\frac{x–4}{x–2} ≥0[/m] ⇒

x<2 или x ≥ 4



В условиях ОДЗ можно переписать уравнение в виде:

[m](x–2)(x–4)–5\sqrt{(x–2)\cdot (x–4)} =(a–2)(a+3)[/m]

Замена переменной:

[m]\sqrt{(x–2)\cdot (x–4)}=t[/m]

тогда

[m](x–2)(x–4)=t^2[/m]

Решаем квадратное уравнение:

[m]t^2–5t -(a–2)(a+3)=0[/m]

D=25+4(a–2)(a+3)=4a²+4a+1=(2a+1)²

t₁=a+3 или t₂=2–a

Обратный переход

[m]\sqrt{(x–2)\cdot (x–4)}=a+3[/m] или [m]\sqrt{(x–2)\cdot (x–4)}=2-a[/m]


По требованию задачи данное уравнение должно иметь только один корень.

Это означает, что либо первое уравнение имеет один корень, либо второе уравнение имеет один корень

Поэтому переформулируем требование задачи.

При каких значениях параметра а только одно уравнение

[m]\sqrt{(x–2)\cdot (x–4)}=a+3[/m] или [m]\sqrt{(x–2)\cdot (x–4)}=2-a[/m]

имеет один корень, удовлетворяющий ОДЗ.

Решаем графически ( cм. рис.)


График левой части уравнения с учетом ОДЗ см. на рис.

Любая прямая y=b, b >0 имеет с кривой две точки пересечения.

Любая прямая y=с, с <0 не имеет с кривой точек пересечения.


Прямая y=0 имеет с кривой ОДНУ общую точку.



Поэтому при a+3=0 , т.е при a=–3 уравнение: [m]\sqrt{(x–2)\cdot (x–4)}=a+3[/m] имеет один корень

х=4

НО второе уравнение [m]\sqrt{(x–2)\cdot (x–4)}=2-a[/m] при этом значении параметра

принимает вид:

[m]\sqrt{(x–2)\cdot (x–4)}=5[/m] и имеет еще два корня.


При 2–a=0, т. е при a=2 второе уравнение [m]\sqrt{(x–2)\cdot (x–4)}=2-a[/m] имеет один корень x=4

НО первое уравнение [m]\sqrt{(x–2)\cdot (x–4)}=a+3[/m] при этом значении параметра

принимает вид:

[m]\sqrt{(x–2)\cdot (x–4)}=5[/m] и имеет еще два корня.

О т в е т. Нет таких значений.