Задача 59169 Помогите решить ,желательно подробно...
Условие
Решение
Метод называется подведение под знак ДИФФЕРЕНЦИАЛА
См. скрин.
[b]3)[/b] полегче
Легко заметить, что [m] \frac{1}{1+x^2}[/m] это производная от arctgx
Поэтому
[m] \frac{dx}{1+x^2}=d(arctgx)[/m]
Получаем табличный интеграл вида ∫ \frac{du}{u}=ln|u|+C[/m]
Решение.
[m] ∫ \frac{dx}{(1+x^2)arctgx}= ∫ \frac{d(arctgx)}{arctgx}=ln|arctgx|+C[/m]
1)
так как , что [m] sin2x=2sinxcosx[/m] это производная от arctgx
Решение.
[m] ∫ \sqrt[3]{cos^3x}sin2xdx= ∫cosx\cdot 2 \cdot sinx\cdot cosx dx =2 ∫cos^{2}x\cdot sinx dx [/m]
[m] sinx [/m] это почти производная от cosx, т.е.
[m]d(cosx)=-sinxdx[/m], то [m]sinxdx=-d(cosx)[/m]
[m]2 ∫cos^{2}x\cdot sinx dx=-2 ∫ cos^2xd(cosx)= [/m]
Это табличный интеграл [m] ∫ u^2du=\frac{u^3}{3} + C[/m]
[m]=-2\frac{cos^3x}{3} + C [/m]- это о т в е т
Задача 2 из другой темы
Это метод интегрирования по частям.
u=ln(x+1)
du=[m]\frac{1}{x+1}dx[/m]
dv=(x+1)dx
v= ∫ dv= ∫ (x+1)[b]dx[/b]= ∫ (x+1)[b]d(x+1)[/b] (применили подведение под дифференциал)=[blue](x+1)^2/2[/blue]
По формуле:
∫ udv=u*v- ∫ v*du
Поэтому
∫ (х+1)ln(x+1)dx=ln(x+1) * ([blue] (x+1)^2/2[/blue])- ∫( [blue](x+1)^2/2[/blue])*[m]\frac{1}{x+1}dx[/m]=
=(1/2)(x+1)^2*ln(x+1)-(1/2)∫ (x+1)dx=(1/2)(x+1)^2*ln(x+1)-(1/4)(x+1)^2+C - это ответ
