Задача 58147 ...

602ea5793cfdeb46290ca5ae

27.02.2021 14:47:08

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 1. Найди угол между прямыми AA₁ и BD₁.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27.02.2021 23:38:12

★

АА_(1)||BB_(1)

Угол между АА_(1) и BD_(1) равен углу между ВВ_(1) и BD_(1)

Находим его из Δ BB_(1)D_(1) по теореме косинусов:
B_(1)D_(1)^2=BB^2_(1)+BD^2_(1)-2*BB_(1)*BD_(1)*cos ∠ B_(1)BD_(1)

Так как

BB_(1)=1
B_(1)D_(1)=2sqrt(2) - диагональ квадрата со стороной 2

BD^2_(1)=2^2+2^2+1=9
BD_(1)=3

B_(1)D_(1)^2=BB^2_(1)+BD^2_(1)-2*BB_(1)*BD_(1)*cos ∠ B_(1)BD_(1)

cos ∠ B_(1)BD_(1)=(BB^2_(1)+BD^2_(1)-B_(1)D_(1)^2)/(2*BB_(1)*BD_(1))

cos ∠ B_(1)BD_(1)=(1+9-8)/(2*1*3)=[b]1/3[/b]

∠ B_(1)BD_(1)=arccos(1/3)