Задача 58061 В треугольники ABC AB=5 см , BC=4 см ,...
Условие
Решение
Δ ABC - прямоугольный
AB^2=AC^2+BC^2
5^2=3^2+4^2
Медиана CC_(1)=(1/2) AB=2,5
Медиана AA_(1)^2=AC^2+CA^2_(1)=3^2+2^2=13
Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины
CM=(2/3)CC_(1)=(2/3)*2,5=5/3
AM=(2/3)AA_(1)=(2/3)*sqrt(13)
Из треугольника СAM по теореме косинусов:
AC^2=CM^2+AM^2-2*CM*AM*cos ∠ CМА
⇒
cos ∠ CМА=(CM^2+AM^2-AC^2)/2*CM*AM
cos ∠ CМА=((25/9)+(28/9)-9)/2*(5/3)*(2/3)sqrt(13)
cos ∠ CМА=-sqrt(13)/10
Это тупой угол, так как косинус отрицательный.
Смежный с ним - острый.
Его и находим
cos ∠ CМА_(1)=+sqrt(13)/10
∠ CМА_(1)=arccos(sqrt(13)/10)
