Задача 57873 Помогите с решением. arccos(sin(-412°))...
Условие
Решение
сложение с вычитанием; умножение с делением; возведение в квадрат с извлечением квадратного корня и так далее
Несколько действий - это уже сложное действие ( композиция).
Среди композиций особый интерес представляют композиции
f^(-1)of
и
fof^(-1)
Потому что они возвращают элемент x
f; x → y, f^(-1): у→ х
Это возможно только в том случае, если f^(-1) найдет элемент y в своем "огороде" ( в своей области определения)
Кроме того, f должна доставить x в этот "огород", т. е E(f) ⊂ D(f^(-1))
Поэтому разбираемся с косинусами и арккосинусами:
f: α → cos α
D(f): α - любое
E(f)=[-1;1]
f^(-1): cos α → arccos(cos α )
D(f^(-1))=E(f)=[-1;1]
E((f^(-1))=[b][0;180 ° ][/b]
Поэтому
[red]arccos(cos α )= α[/red] но при α ∈ [b][0;180 ° ][/b]
ДАННАЯ ЗАДАЧА на применение этого равенства.
И на применение других знаний темы ТРИГОНОМЕТРИЯ
По свойству периодичности синуса
-412 ° =-360 ° -52 ° ⇒
[b]sin(-412 ° )[/b]=sin(-360 ° -52 ° )=[b]sin(-52 ° )[/b]
-52 ° ∉ [0;180 ° ]
Так как
sin(90 ° - α )=cos α
то
[b]sin52 ° [/b]=sin(90 ° -38 ° )=[b]cos38 ° [/b]
sin(-52 ° )=-sin52 °=- cos38 °
По свойству арккосинуса:
[blue][b]arccos(-a)=π-arccosa[/b][/blue]
или
[blue][b]arccos(-a)=180 ° -arccosa[/b][/blue]
ИТАК, все решение занимает одну строчку
( но требует глубоких знаний: понимание композиции; свойств косинуса и синуса, формул приведения; свойств арккосинуса)
[r]arccos(sin(-412 ° ))=arccos(sin(-360 ° -52 ° ))=arccos(sin(-52 ° ))=[blue][b]arccos(-cos38 ° ))[/b][/blue]=[blue][b]180 °[/b][/blue] -[red]arccos(cos38 ° )[/red]=180 ° -[red]38 °[/red] =142 ° [/r]