Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 57873 Помогите с решением. arccos(sin(-412°))...

Условие

Помогите с решением. arccos(sin(-412°))

математика 8-9 класс 550

Решение

В математике все действия рассматриваются вместе с противоположными действиями:

сложение с вычитанием; умножение с делением; возведение в квадрат с извлечением квадратного корня и так далее


Несколько действий - это уже сложное действие ( композиция).


Среди композиций особый интерес представляют композиции

f^(-1)of

и

fof^(-1)


Потому что они возвращают элемент x

f; x → y, f^(-1): у→ х


Это возможно только в том случае, если f^(-1) найдет элемент y в своем "огороде" ( в своей области определения)

Кроме того, f должна доставить x в этот "огород", т. е E(f) ⊂ D(f^(-1))



Поэтому разбираемся с косинусами и арккосинусами:



f: α → cos α

D(f): α - любое
E(f)=[-1;1]



f^(-1): cos α → arccos(cos α )

D(f^(-1))=E(f)=[-1;1]

E((f^(-1))=[b][0;180 ° ][/b]


Поэтому

[red]arccos(cos α )= α[/red] но при α ∈ [b][0;180 ° ][/b]


ДАННАЯ ЗАДАЧА на применение этого равенства.


И на применение других знаний темы ТРИГОНОМЕТРИЯ


По свойству периодичности синуса

-412 ° =-360 ° -52 ° ⇒

[b]sin(-412 ° )[/b]=sin(-360 ° -52 ° )=[b]sin(-52 ° )[/b]

-52 ° ∉ [0;180 ° ]


Так как

sin(90 ° - α )=cos α

то

[b]sin52 ° [/b]=sin(90 ° -38 ° )=[b]cos38 ° [/b]


sin(-52 ° )=-sin52 °=- cos38 °



По свойству арккосинуса:

[blue][b]arccos(-a)=π-arccosa[/b][/blue]

или

[blue][b]arccos(-a)=180 ° -arccosa[/b][/blue]



ИТАК, все решение занимает одну строчку
( но требует глубоких знаний: понимание композиции; свойств косинуса и синуса, формул приведения; свойств арккосинуса)



[r]arccos(sin(-412 ° ))=arccos(sin(-360 ° -52 ° ))=arccos(sin(-52 ° ))=[blue][b]arccos(-cos38 ° ))[/b][/blue]=[blue][b]180 °[/b][/blue] -[red]arccos(cos38 ° )[/red]=180 ° -[red]38 °[/red] =142 ° [/r]

Написать комментарий

Категория

Меню

Присоединяйся в ВК