Задача 57667 Провести исследование и построить...
Условие
Решение
Функция не является ни чётной, ни нечётной, ни периодической
Область определения не симметрична относительно 0 и
[m] y(-x)=\frac{2\cdot (-x)-3)^3}{(-x-4)^2}=-\frac{2\cdot x+3)^3}{(x+4)^2}[/m]
[m]y(-x) ≠ y(x)[/m] и [m]y(-x) ≠- y(x)[/m]
Прямая [m] x=4 [/m] является [i] вертикальной[/i] асимптотой.
Так как [m] lim_{x → 4}\frac{(2\cdot x-3)^3}{(x-4)^2}=+ ∞ [/m]
[i]Горизонтальных[/i] асимптот нет, так как
[m] lim_{x → ∞}\frac{(2\cdot x-3)^3}{(x-4)^2}= ∞ [/m]
Но есть наклонная асимптота, так как
[m] lim_{x → ∞}\frac{(2\cdot x-3)^3}{x(x-4)^2}= 8 [/m]
[m]k=8[/m]
[m]b= lim_{x → ∞}(\frac{(2\cdot x-3)^3}{(x-4)^2}-8x)= lim_{x → ∞}\frac{8x^3-36x^2+54x+27--8x^3+64x^2-128x}{(x-4)^2}=28[/m]
[m]y=8x+28[/m] - [i] наклонная асимптота[/i].
[b]Исследование с помощью первой производной[/b]:
[m]y`=\frac{3(2x-3)^2\cdot 2\cdot (x-4)^2-(2x-3)^3\cdot 2(x-4)}{(x-4)^4}[/m]
[m]y`=\frac{2\cdot (2x-3)^2\cdot (x-4)\cdot (3x-12-2x+3)}{(x-4)^4}[/m]
[m]y`=\frac{2\cdot (2x-3)^2\cdot (x-9)}{(x-4)^3}[/m]
Расставляем знак производной:
____+_ (3/2) ___+___ (4) ____-__ (9) ___+__
y`>0 на (- ∞ ; 3/2) и на (3/2;4) и на (9;+ ∞ )
Значит функция возрастает на (- ∞ ; 3/2) и на (3/2;4) и на (9;+ ∞ )
y`<0 на (4;9)
Значит, функция убывает на (4;9)
x=9 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
[m]y(9)=\frac{2\cdot 9-3)^3}{(9-4)^2}=135[/m]
[b]Исследование с помощью второй производной:[/b]
[m]y``=2\frac{( (2x-3)^2\cdot (x-9))`\cdot (x-4)^3-(2x-3)^2\cdot (x-9)\cdot 3(x-4)^2}{(x-4)^6}[/m]
[m]y``=2\frac{( 2(2x-3)\cdot 2\cdot (x-9)+(2x-3)^2)\cdot (x-4)^3-(2x-3)^2\cdot (x-9)\cdot 3(x-4)^2}{(x-4)^6}[/m]
[m]y``=2\frac{( 4(2x-3)\cdot (x-9)\cdot (x-4)+(2x-3)^2\cdot (x-4)-3\cdot (2x-3)^2\cdot (x-9)}{(x-4)^4}[/m]
[m]y``=2\cdot (2x-3)\frac{( 4\cdot (x-9)\cdot (x-4)+(2x-3)\cdot (x-4)-3\cdot (2x-3)\cdot (x-9)}{(x-4)^4}[/m]
Раскрываем скобки в числителе. Останется только число 75
[m]y``=150\cdot \frac{2x-3}{(x-4)^4}[/m]
[m]y`` <0 [/m] на (- ∞ ; 3/2) ⇒ функция выпукла вверх на (- ∞ ; 3/2)
m]y`` >0 [/m] на (3/2; 4) и на (4;+ ∞ ) ⇒ функция выпукла вниз на (3/2; 4) и на (4;+ ∞ )