Задача 57667 ...

Varan

3 февраля 2021 г. в 17:00

Провести исследование и построить график(срочно)

(2x – 3)³
–––––––––––
(x – 4)²

exponenta

3 февраля 2021 г. в 20:51

★

Область определения (– ∞ ;4)U(4;+ ∞ )

Функция не является ни чётной, ни нечётной, ни периодической

Область определения не симметрична относительно 0 и

[m] y(-x)=\frac{2\cdot (-x)-3)^3}{(-x-4)^2}=-\frac{2\cdot x+3)^3}{(x+4)^2}[/m]

[m]y(-x) ≠ y(x)[/m] и [m]y(-x) ≠- y(x)[/m]

Прямая [m] x=4 [/m] является вертикальной асимптотой.

Так как [m] lim_{x → 4}\frac{(2\cdot x-3)^3}{(x-4)^2}=+ ∞ [/m]

Горизонтальных асимптот нет, так как

[m] lim_{x → ∞}\frac{(2\cdot x-3)^3}{(x-4)^2}= ∞ [/m]

Но есть наклонная асимптота, так как

[m] lim_{x → ∞}\frac{(2\cdot x-3)^3}{x(x-4)^2}= 8 [/m]

[m]k=8[/m]

[m]b= lim_{x → ∞}(\frac{(2\cdot x-3)^3}{(x-4)^2}-8x)= lim_{x → ∞}\frac{8x^3-36x^2+54x+27--8x^3+64x^2-128x}{(x-4)^2}=28[/m]

[m]y=8x+28[/m] – наклонная асимптота.


Исследование с помощью первой производной:

[m]y`=\frac{3(2x-3)^2\cdot 2\cdot (x-4)^2-(2x-3)^3\cdot 2(x-4)}{(x-4)^4}[/m]

[m]y`=\frac{2\cdot (2x-3)^2\cdot (x-4)\cdot (3x-12-2x+3)}{(x-4)^4}[/m]

[m]y`=\frac{2\cdot (2x-3)^2\cdot (x-9)}{(x-4)^3}[/m]

Расставляем знак производной:

____+_ (3/2) ___+___ (4) ____–__ (9) ___+__

y`>0 на (– ∞ ; 3/2) и на (3/2;4) и на (9;+ ∞ )

Значит функция возрастает на (– ∞ ; 3/2) и на (3/2;4) и на (9;+ ∞ )

y`<0 на (4;9)

Значит, функция убывает на (4;9)


x=9 – точка минимума, производная меняет знак с – на +

[m]y(9)=\frac{2\cdot 9-3)^3}{(9-4)^2}=135[/m]

Исследование с помощью второй производной:


[m]y``=2\frac{( (2x-3)^2\cdot (x-9))`\cdot (x-4)^3-(2x-3)^2\cdot (x-9)\cdot 3(x-4)^2}{(x-4)^6}[/m]


[m]y``=2\frac{( 2(2x-3)\cdot 2\cdot (x-9)+(2x-3)^2)\cdot (x-4)^3-(2x-3)^2\cdot (x-9)\cdot 3(x-4)^2}{(x-4)^6}[/m]

[m]y``=2\frac{( 4(2x-3)\cdot (x-9)\cdot (x-4)+(2x-3)^2\cdot (x-4)-3\cdot (2x-3)^2\cdot (x-9)}{(x-4)^4}[/m]

[m]y``=2\cdot (2x-3)\frac{( 4\cdot (x-9)\cdot (x-4)+(2x-3)\cdot (x-4)-3\cdot (2x-3)\cdot (x-9)}{(x-4)^4}[/m]

Раскрываем скобки в числителе. Останется только число 75

[m]y``=150\cdot \frac{2x-3}{(x-4)^4}[/m]

[m]y`` <0 [/m] на (– ∞ ; 3/2) ⇒ функция выпукла вверх на (– ∞ ; 3/2)

m]y`` >0 [/m] на (3/2; 4) и на (4;+ ∞ ) ⇒ функция выпукла вниз на (3/2; 4) и на (4;+ ∞ )