Задача 57665 ...
Условие
Решение
ОДЗ:
[m]\left\{\begin {matrix}(x-2)^2>0\\(x-2)^2 ≠ 1\\\frac{5-x}{4-x}>0\\\frac{1}{x^2-9x+20}>0\end {matrix}\right.[/m]⇒[m]\left\{\begin {matrix}x≠ 2\\x-2 ≠ ± 1\\\frac{x-5}{x-4}>0\\\frac{1}{(x-4)(x-5)}>0\end {matrix}\right.[/m]⇒[m]\left\{\begin {matrix}x≠ 2\\x ≠ 3; x≠1\\(x-5)(x-4)>0\end {matrix}\right.[/m] __+__ (4) ___ (5) __+__
ОДЗ: x ∈ (- ∞ ; 1) U (1;2) U(2;3)U(3;4) U (5;+∞)
Так как
[m]1=log_{(x-2)^2}(x-2)^2[/m]
неравенство примет вид:
[m]log_{(x-2)^2}\frac{5-x}{4-x} ≤ log_{(x-2)^2}(x-2)^2+log_{(x-2)^2}\frac{1}{x^2-9x+20}[/m]
[m]log_{(x-2)^2}\frac{x-5}{x-4} ≤ log_{(x-2)^2}\frac{(x-2)^2 }{(x-4)(x-5)}[/m]
Если основание логарифмической функции больше 1, то функция возрастает, поэтому
[m]\left\{\begin {matrix}(x-2)^2>1\\\frac{x-5}{x-4} ≤ \frac{(x-2)^2 }{(x-4)(x-5)}\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}(x-2)^2-1>0\\\frac{x-5}{x-4}- \frac{(x-2)^2 }{(x-4)(x-5)} ≤0 \end {matrix}\right.[/m] ⇒
[m]\left\{\begin {matrix}(x-2-1)(x-2+1)>0\\\frac{(x-5)^2-(x-2)^2}{(x-4)(x-5)} ≤0 \end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}(x-3)(x-1)>0\\\frac{(x-5-(x-2))(x-5+x-2)}{(x-4)(x-5)} ≤0 \end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}(x-3)(x-1)>0\\\frac{(-3))(2x-7)}{(x-4)(x-5)} ≤0 \end {matrix}\right.[/m]
[b]x ∈ [3,5;4)U(5;+ ∞ )[/b]
Если основание логарифмической функции меньше 1, но больше 0, то функция убывает, поэтому
[m]\left\{\begin {matrix}(x-2)^2<1\\\frac{x-5}{x-4} ≥ \frac{(x-2)^2 }{(x-4)(x-5)}\end {matrix}\right.[/m]⇒ [m]\left\{\begin {matrix}(x-2)^2-1<0; x ≠2 \\\frac{x-5}{x-4}- \frac{(x-2)^2 }{(x-4)(x-5)} ≥ 0 \end {matrix}\right.[/m] ⇒
[m]\left\{\begin {matrix}(x-2-1)(x-2+1)<0;x ≠2 \\\frac{(x-5)^2-(x-2)^2}{(x-4)(x-5)} ≤0 \end {matrix}\right.[/m] ⇒[m]\left\{\begin {matrix}(x-3)(x-1)<0;x ≠ 2 \\\frac{(x-5-(x-2))(x-5+x-2)}{(x-4)(x-5)} ≥ 0 \end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}(x-3)(x-1)<0;x ≠ 2 \\\frac{(-3)(2x-7}{(x-4)(x-5)} ≥ 0 \end {matrix}\right.[/m] ⇒
[b]x ∈ (1;2)U(2;3)[/b]
Объединяем полученные ответы с учетом ОДЗ
О т в е т.(1;2)U(2;3) U[3,5;4) U (5;+ ∞ )
