Задача 57585 Дан куб с ребром, равным 1. Найдите...

Gpqrhv

31 января 2021 г. в 18:56

Дан куб с ребром, равным 1. Найдите синус угла между прямой В1D u (ABC1).

Дан куб с ребром, равным 1. Найдите синус угла между (АВ1С) и (А1ВС).

exponenta

31 января 2021 г. в 23:47

★

1.
Угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

MN– проекция B₁D на пл. АВС₁D₁

MN|| DC

∠ B₁DC – искомый угол находим из Δ В₁DC по теореме косинусов.

B₁D=√3
B₁C=√2
DC=1

DC²=B₁D²+B₁C²–2·B₁D·B₁C·cos∠ B₁DC ⇒

cos∠ B₁DC=(B₁D²+B₁C²–DC²)/(2·B₁D·B₁C)=2/√6

2.
Две плоскости АВ₁С и А₁ВС имеют две общие точки: M и N.

Значит пересекаются по прямой, проходящей через эти точки:

MN || AC
MN=AC/2=√2/2

Δ MB₁N и Δ МВN – равносторонние равные между собой треугольники со стороной √2/2

B₁K=BK=(√2/2)·√3/2 – высоты равносторонних треугольников со стороной √2/2

∠ B₁KB – линейный угол двугранного угла между плоскостями АВ₁С и А₁ВС

По теореме косинусов из Δ B₁KB:

B₁B²=B₁K²+BK²–2·B₁K·BK·cos ∠ B₁KB ⇒

cos ∠ B₁KB =–1/3