Задача 57580 ...
Условие
призме АВСА1В1С1 проведено сечение СА1В, площадь которого составляет 9√14см². Синус угла наклона диагонали боковой грани к основанию равен 1/3. Найдите объем призмы.
Варианты ответов:
1) 27√3 см³
2)48√3см³
3)27см³
4)54√3см³
5)54√2см³
Решение
AB=BC=AC
AA1 ⊥ пл. АВС; ВВ1 ⊥ пл. АВС; СС1⊥ пл. АВС.
sin ∠ A1BA=1/3
sin ∠ A1BA=AA1/A1B ⇒ A1B =3AA1
Тогда изз Δ A1BA
АB2=A1B2–AA12=(3AA1)2–(AA1)2=8(AA1)2
Hпризмы=АА1
AB=a=AA1·√8
Из Δ A1KB
A1K2=А1B2–AK2=(3AA1)2)2–(AA1·√8/2)2=9·(AA1)2–2(AA1)2=7(AA1)2
A1K=√7(AA1)
S Δ А1BC=(1/2)BC·A1K=(1/2)·(AA1·√8)·√7(AA1)
По условию:
S Δ А1BC=9√14
Из уравнения:
(1/2)·(AA1·√8)·√7(AA1)=9√14
(AA1)2=9
AA1=3
Hпризмы=АА1=3
AB=a=AA1·√8=3√8=6√2
V=Sосн·H=(1/2)a2·sin60 ° ·H=(1/2)·(6√2)2·(√3/2)· 3=54√3
