Задача 57563 Найти математическое ожидание и...

601160155d2ce76e3c567590

31.01.2021 09:09:41

Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины Х, заданной функцией распределения

5f3ea7e3faf909182968ddd9

31.01.2021 10:56:46

★

Найдем плотность вероятности

[m]p(x)=f`(x)=\left\{\begin {matrix}0, x ≤-1\\0,75, -1 < x ≤\frac{1}{3}\\0, x > \frac{1}{3} \end {matrix}\right.[/m]

Свойство плотности:
[m]∫ ^{∞}_{- ∞} p(x)dx=1[/m]

Так как функция задана на трех промежутках, то

[m]∫ ^{+ ∞ }_{- ∞}p(x)dx=∫ ^{-1 }_{- ∞}0dx+∫ ^{\frac{1}{3} }_{-1}(0,75)dx+∫ ^{+ ∞ }_{\frac{1}{3}}0dx=[/m]

[m]=0+0,75\cdot( x)|^{\frac{1}[3]}_{-1}=0,75\cdot (\frac{1}{3}-(-1))=1[/m] - верно


По определению:
[m]M(X)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x\cdot p(x)dx[/m]

Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):

[m]M(X)= ∫ ^{\frac{1}{3} }_{-1}x\cdot 0,75dx=0,75(\frac{x^2}{2})|^{\frac{1}{3} }_{-1}=[/m]

По формуле:

[red]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=...[/red]

По определению:
[m]M(X^2)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x^2\cdot p(x)dx[/m]



[m]M(X^2)=∫ ^{\frac{1}{3} }_{-1}x^2\cdot 0,75dx=0,75(\frac{x^3}{3})|^{\frac{1}{3} }_{-1}=[/m]


Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):

Легко сосчитать:
[red]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=...[/red]