Задача 57563 Найти математическое ожидание и...

Ольга_145389898

31 января 2021 г. в 09:09

Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины Х, заданной функцией распределения

exponenta

31 января 2021 г. в 10:56

★

Найдем плотность вероятности

$p(x)=f`(x)=\left\{\begin {matrix}0, x ≤-1\\0,75, -1 < x ≤\frac{1}{3}\\0, x > \frac{1}{3} \end {matrix}\right.$

Свойство плотности:
$∫ ^{∞}_{- ∞} p(x)dx=1$

Так как функция задана на трех промежутках, то

$∫ ^{+ ∞ }_{- ∞}p(x)dx=∫ ^{-1 }_{- ∞}0dx+∫ ^{\frac{1}{3} }_{-1}(0,75)dx+∫ ^{+ ∞ }_{\frac{1}{3}}0dx=$

$=0+0,75\cdot( x)|^{\frac{1}[3]}_{-1}=0,75\cdot (\frac{1}{3}-(-1))=1$ – верно


По определению:
$M(X)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x\cdot p(x)dx$

Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):

$M(X)= ∫ ^{\frac{1}{3} }_{-1}x\cdot 0,75dx=0,75(\frac{x^2}{2})|^{\frac{1}{3} }_{-1}=$

По формуле:

D(X)=M(X²)–(M(X))²=...

По определению:
$M(X^2)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x^2\cdot p(x)dx$



$M(X^2)=∫ ^{\frac{1}{3} }_{-1}x^2\cdot 0,75dx=0,75(\frac{x^3}{3})|^{\frac{1}{3} }_{-1}=$


Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):

Легко сосчитать:
D(X)=M(X²)–(M(X))²=...