Задача 57463 Найти точки разрыва функции, исследовать...
Условие
устранимого разрыва доопределить функцию «ПО непрерывности> :
Решение
На (–1 ;1) функция непрерывна, так как y=2x непрерывна на (– ∞ ;+ ∞ )
На (1;4) функция непрерывна, так как y=x–1 непрерывна на (– ∞ ;+ ∞ )
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точке
х=1
Находим предел слева:
limx →1–0f(x)=limx →1 –0(2х)=2
Находим предел справа:
limx → 1+0f(x)=limx →1 +0(x–1)=1–1=0
предел слева ≠ пределу справа
f(1)=1
Функция имеет скачок (конечный) в точке x=–1
х=–1 – точка разрыва первого рода
2.
На (0 ;1) функция непрерывна, так как y=2√x непрерывна на (0 ;+ ∞ )
На (1;2,5) функция непрерывна, так как y=4–2x непрерывна на (– ∞ ;+ ∞ )
На (2,5;4 ) функция непрерывна, так как y=2x–7 непрерывна на (– ∞ ;+ ∞ )
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точках х=1 и х=2,5
Находим предел слева:
limx → 1–0f(x)=limx →–1 –0(2√х)=2
Находим предел справа:
limx → 1+0f(x)=limx →–1 +0(4–2x)=2
f(1)=2√1=2
предел слева = пределу справа и равен значению функции в точке 2
х=1 – точка непрерывности
x=2,5
Находим предел слева:
limx →2,5 –0f(x)=limx → 2,5–0(4–2x)=4–2·2,5=–1
Находим предел справа:
limx →2,5 +0f(x)=limx → 2,5+0(2x–7)=2·2,5–7=–2
предел слева ≠ пределу справа
Функция имеет скачок (конечный) в точке x=–1
х=2,5 – точка разрыва первого рода
Доопределить можно только функцию, которая не определена в точке и имеет равные левосторонний и правосторонний пределы.
Здесь нет таких точек