Задача 57457 ...

60119d6f5d2ce76e3c5678d0

27 января 2021 г. в 20:06

Решить неравенство log₂(x–1)+log₂(x²+1/(x–1)) ≤ 2log₂((x²+x–1)/2)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27 января 2021 г. в 20:23

★

ОДЗ:
{x–1 >0 ⇒ x> 1
{x²+(1/(x–1)) >0 верно при всех ограничениях на х первого неравенства
{(x²+x–1)/2 >0 ⇒ x²+x–1>0 ⇒ x < (–1–√5)/2 или x > (–1+√5)/2

(–1+√5)/2 < 1

Поэтому ОДЗ: x > 1

[m]log_{2}(x-1)+log_{2}(x^2+\frac{1}{x-1})≤2log_{2}\frac{x^2+x-1}{2}[/m]

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:

[m]log_{2}(x-1)+log_{2}(x^2+\frac{1}{x-1})=log_{2}(x-1)\cdot (x^2+\frac{1}{x-1})[/m]

применим к логарифму справа свойство логарифма степени

[m]2log_{2}\frac{x^2+x-1}{2}=log_{2}(\frac{x^2+x-1}{2})^2[/m]



[m]log_{2}(x-1)\cdot (x^2+\frac{1}{x-1}) ≤log_{2}(\frac{x^2+x-1}{2})^2[/m]

Воспользуемся свойством монотонности логарифмической функции c основанием 2

Получим неравенство:

[m](x-1)\cdot (x^2+\frac{1}{x-1}) ≤(\frac{x^2+x-1}{2})^2[/m]

При x из ОДЗ верно, что x–1 ≠ 0,

поэтому

[m]x^2(x-1)+1 ≤(\frac{x^2+(x-1)}{2})^2[/m]

[m]x^2(x-1)+1 ≤\frac{(x^2)^2+2x^2(x-1)+(x-1)^2}{4}[/m]

[m]x^2(x-1)+1 ≤\frac{(x^2)^2}{4}+\frac{x^2(x-1)}{2}+\frac{(x-1)^2}{4}[/m]

[m]1 ≤\frac{(x^2)^2}{4}-\frac{x^2(x-1)}{2}+\frac{(x-1)^2}{4}[/m]

[m]1 ≤\frac{(x^2-(x-1))^2}{4}[/m]

[m]\frac{(x^2-(x-1))^2}{4}-1 ≥0 [/m]

[m](\frac{x^2-(x-1)}{2}-1) (\frac{x^2-(x-1)}{2}+1)≥0 [/m]

[m](x^2-x+1-2)(x^2-x+1+2) ≥ 0[/m]


[m](x^2-x-1)(x^2-x+3) ≥ 0[/m]

C учетом ОДЗ:
О т в е т. [m][\frac{1+\sqrt{5}}{2}; + ∞ )[/m]