Задача 57333 y''-4y'+4y=x(2e^2x+xsinx)...
Условие
Решение
y``-4y`+4y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k+4=0
(k-2)^2=0
k=k_(1)= k_(2)=2 - корни кратные действительные
y=C_(1)e^(k)x)+C_(2)*x*e^(kx)
[b]y= C_(1) e^(2x)+C_(2)*xe^(2x)[/b] - общее решение однородного.
f(x)=x*(2e^(2x)+x*sinx)
f(x)=2xe^(2x)+x^2*sinx=f_(1)(x)+f_(2)(x)
f_(1)(x)=2xe^(2x)
тогда
y_(частное1 неоднородного)=(Аx^2+Bx+C)*e^(2x)
потому что x=2 - корень характеристического уравнения кратности 2
y`_(ч. 1н)=((Аx^2+Bx+C)*e^(2x))`=(2Ax+B)*e^(2x)+(Аx^2+Bx+C)*e^(2x)*2=e^(2x)*(2Ax^2+2Ax+2Bx+B+2C)
y``_(ч.1н)=e^(2x)*(4Ax^2+4Ax+4BX+2B+4C)+e^(2x)*(4Ax+2A+2B)=e^(2x)*(4Ax^2+8Ax+4BX+4B+4C+2A)
Подставляем в уравнение
y``-4y`+4y=x^2
4Ax^2+8Ax+4BX+4B+4C+2A-4*(2Ax^2+2Ax+2Bx+B+2C)+4*(Аx^2+Bx+C)=2x
[b]y_(частное1 неоднородного)=(1/4)x^2+(1/2)x+(3/8)[/b]
Аналогично,
f_(2)(x)=x^2*sinx
y_(частное2 неоднородного)=(Mx^2+Nx+T)sinx+(Px^2+Qx+R)
y_(ч. 2н)=
y``_(ч.2н)
Подставляем в уравнение
y``-4y`+4y=x^2*sinx
[b]y_(частное2 неоднородного)=[/b]
О т в е т. y=y_(общее однород)+y_(частн1 неодн)+у_(частн2 неодн)
y= [b]C_(1) e^(2x)+C_(2)*xe^(2x) +...[/b]
