Задача 57295 ...

Сэм_368308538

23 января 2021 г. в 12:53

Линия задана уравнением ρ = cos ϕ − sin ϕ в полярной системе координат. Требуется:
1) построить линию по точкам, придавая ϕ значения через промежуток
π/4;
2) найти уравнение кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось Ox – с полярной осью

exponenta

23 января 2021 г. в 13:37

★

В полярной системе координат используется полярный луч

Любой луч задается точкой отсчета и направлением.

Направление полярного луча – положительное.

Поэтому на нем откладываем отрезки, значения которыx ≥ 0

ρ ≥ 0 ⇒ cosφ – sinφ ≥ 0

Решив это тригонометрическое неравенство получим ограничения на полярный угол.

В данной задаче полярный угол от –135° ≤ φ ≤45°


1)
φ =5 °⇒ ρ =cos 5°–sin 5 °≈считаем
проводим луч под углом 5°; на нем откладываем длину ρ = cos 5°–sin 5 °≈

φ =10 °⇒ ρ =cos 10°–sin 10 °≈считаем

проводим луч под углом 10°; на нем откладываем длину
ρ = cos 10°–sin 10 °≈

φ =15 ° ⇒ ρ =cos 15°–sin 15 °≈ 0,9659–0,2588=0,7071

проводим луч под углом 15°; на нем откладываем длину ρ = cos 15°–sin 15 °≈0,7071

получаем точку M (15 ° ;≈0,7) Она изображена на рисунке.

φ =30 ° ⇒ ρ=cos 30°–sin 30 °=(√3–1)/2

точка A (30 ° ;(√3–1)/2)

φ =45 ° ⇒ ρ =cos 45°–sin 45 ° =0
точка B (45 ° ;0)

...
и
далее:

углы от 0 до –135° :

φ =–5 °⇒ ρ =cos (–5°)–sin(– 5 °)=cos (5°)+sin( 5 °)≈

φ =–10 °⇒ ρ =cos (–10°)–sin(– 10 °)=cos (10°)+sin( 10 °)≈

φ =15 ° ⇒ ρ =cos(– 15°)–sin (–15 °)=cos( 15°)+sin (15 °)≈ 0, 9659+0,2588

строим точку (–15 ° ;≈0, 9659+0,2588)

φ =30 ° ⇒ ρ=cos(– 30°)–sin(– 30 °)=cos( 30°)+sin( 30 °)=(√3+1)/2

точка (–30 ° ;(√3+1)/2)

φ =45 ° ⇒ ρ =cos 45°+sin 45 ° =√2
точка (–45 ° ;√2)




2)
x= ρ cos φ ⇒ cos φ =x/ ρ
y= ρ sin φ ⇒ sin φ =y/ ρ

x²+y²= ρ ²cos² φ + ρ sin² φ ⇒

x²+y²= ρ ²



ρ =x/ ρ –y/ ρ ⇒ ρ ²=x–y

x²+y²=x–y – уравнение в декартовой системе координат.

Упростим: выделим полные квадраты:

(x²–x)+(y²+y)=0

(x–0,5)²+(y+0,5)²=0,5

уравнение окружности с центром (0,5;–0,5) и радиусом R=√0,5=√2/2