Задача 56948 1) y''+4y'+4y=0 если y=1, y'=-4 при...

60006925960c3c35933dd8dc

14 января 2021 г. в 19:06

1) y''+4y'+4y=0
если y=1, y'=–4 при x=0
2)
если S=–8, S'=3 при t=–1
3)y''–4y'+13y=0
если y=–3, y'=9 при x=0

exponenta

14 января 2021 г. в 19:54

★

1)y''+4y'+4y=0

Это однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Составляем характеристическое уравнение:
k²+4k+4=0
k₁=k₂=–2 – корни кратные действительные.

Общее решение:
y=C₁e^–2x+C₂·x·e^–2x


Решение задачи Коши:
если y=1, y'=–4 при x=0

Необходимо найти C₁ и С₂

из двух условий:

y(0)=1

y`(0)=–4

y(0)=1 ⇒ y(0)=C₁e⁰+C₂·0·e⁰⇒ 1=C₁

Находим
y`=С<sub>1</sub>·(e<sup>–2x</sup>)`+C₂·(x·e^–2x)`

y`=C<sub>1</sub>e<sup>–2x</sup>·(–2x)`+C₂x`e<sup>–2x</sup>+C<sub>2</sub>x·(e<sup>–2x</sup>)`

y`=–2C₁e^–2x+C₂·e^–2x–2C₂·x·e^–2x



y`=–2C₁·e^–2x+C₂·e^–2x–2C₂x·e^–2x

y`(0)=–4 ⇒ y`(0)=–2C₁e⁰+C₂e⁰–2C₂0·e⁰ ⇒ –4=–2·1+C₂

C₂=–2


Частное решение ( решение удовлетворяющее условию)

y=e^x–2·x·e^x


3)y''–4y'+13y=0
Это однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Составляем характеристическое уравнение:
k²–4k+13=0
D=16–4·13=–36
√D=i
k₁= 2–3i; k₂=2+3i – корни комплексно–сопряженные

Общее решение:
y=e²(C₁·cos3x+C₂·sin3x)


если y=–3, y'=9 при x=0

y(0)=–3

–3=e²(C₁·cos0+C₂·sin0) ⇒ C₁=–3/e²



y`=e²(C₁·(–3sin3x)+3C₂·cos3x)

y'(0)=9

9=e²(C₁·0+3C₂·cos0) ⇒ C₂=3/e²


Частное решение ( решение удовлетворяющее условию)

y=–3cos3x+3sin3x