Задача 56948 1) y''+4y'+4y=0 если y=1, y'=-4 при...
Условие
если y=1, y'=-4 при x=0
2)
если S=-8, S'=3 при t=-1
3)y''-4y'+13y=0
если y=-3, y'=9 при x=0
Решение
Это однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+4k+4=0
k_(1)=k_(2)=-2 - корни кратные действительные.
Общее решение:
[b]y=C_(1)e^(-2x)+C_(2)*x*e^(-2x)[/b]
Решение задачи Коши:
если y=1, y'=–4 при x=0
Необходимо найти C_(1) и С_(2)
из двух условий:
y(0)=1
y`(0)=-4
y(0)=1 ⇒ [b]y(0)=C_(1)e^(0)+C_(2)*0*e^(0)[/b]⇒ [b]1=C_(1)[/b]
Находим
y`=С_(1)*(e^(-2x))`+C_(2)*(x*e^(-2x))`
y`=C_(1)e^(-2x)*(-2x)`+C_(2)x`e^(-2x)+C_(2)x*(e^(-2x))`
y`=-2C_(1)e^(-2x)+C_(2)*e^(-2x)-2C_(2)*x*e^(-2x)
[blue][b]y`=-2C_(1)*e^(-2x)+C_(2)*e^(-2x)-2C_(2)x*e^(-2x)[/b][/blue]
y`(0)=-4 ⇒ [blue][b]y`(0)=-2C_(1)e^(0)+C_(2)e^(0)-2C_(2)0*e^(0)[/b][/blue] ⇒ [blue][b]-4=-2*1+C_(2)[/b][/blue]
[b]C_(2)=-2[/b]
Частное решение ( решение удовлетворяющее условию)
[b]y=e^(x)-2*x*e^(x)[/b]
3)y''–4y'+13y=0
Это однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k+13=0
D=16-4*13=-36
sqrt(D)=i
k_(1)= 2-3i; k_(2)=2+3i - корни комплексно-сопряженные
Общее решение:
[b]y=e^(2)(C_(1)*cos3x+C_(2)*sin3x)[/b]
если y=–3, y'=9 при x=0
y(0)=-3
-3=e^(2)(C_(1)*cos0+C_(2)*sin0) ⇒ C_(1)=[b]-3/e^2[/b]
y`=e^(2)(C_(1)*(-3sin3x)+3C_(2)*cos3x)
y'(0)=9
9=e^(2)(C_(1)*0+3C_(2)*cos0) ⇒ C_(2)=[b]3/e^2[/b]
Частное решение ( решение удовлетворяющее условию)
[b]y=-3cos3x+3sin3x[/b]
