Задача 56805 Решить краевую задачу y''-y=2ch(x)...

Кирилл_170360789

9 января 2021 г. в 10:31

Решить краевую задачу y''–y=2ch(x) y'(0)=0 y(1)=0

exponenta

9 января 2021 г. в 11:33

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y``–y=0
Составляем характеристическое
k²–1=0
k₁=–1;k₂= 1 – действительные различные корни

y=C₁·e^–x+C₂·e^x

Применяем метод вариации произвольных постоянных

y=C₁(x)·e^–x+C₂(x)·e^x


С₁ и С₂ находим из системы уравнений:

{C`<sub>1</sub>(x)e<sup>–x</sup>+C`₂(x)·e^x=0
{C`<sub>1</sub>(x)(e<sup>–x</sup>)`+C`<sub>2</sub>(x)·(e<sup>x</sup>)`=2chx

{C`<sub>1</sub>(x)e<sup>–x</sup>+C`₂(x)·e^x=0
{–C`<sub>1</sub>(x)e<sup>–x</sup>+C`₂(x)·e^x=2chx

складываем:

2C`₂·e^x=2chx

С`₂(x)=e^–x·chx

сhx=(e^x+e^–x)/2

С`₂(x)=e^–x·chx=(1/2)+(1/2)(e^–x)²=(1/2)+(1/2)e^–2x

Подставляем в первое уравнение системы и находим C`₁(x):


C`₁(x)e^–x+((1/2)+(1/2)e^–2x)·e^x=0 ⇒

C`₁(x)=–(1/2)e^2x–(1/2)

Интегрируем и находим C₁(x) и С₂(x)


C₁(x)= ∫(–(1/2)e^2x–(1/2))dx=–(1/4)e^2x–(1/2)x+C₁




C₂(x)= ∫((1/2)+(1/2)e^–2x)dx=(1/2)x–(1/4)e^–2x+C₂



y=C₁(x)·e^–x+C₂(x)·e^x=(–(1/4)e^2x–(1/2)x+C₁)·e^–x+((1/2)x–(1/4)e^–2x+C₂)·e^x– общее решение.

Чтобы найти решение задачи Коши, подставляем данные :y'(0)=0 y(1)=0

x=0

y`=0

y=0

находим C₁ и С₂


y(0)=(–(1/4)e⁰–(1/2)·0+C₁)·e^–0+((1/2)·0–(1/4)e⁰+C₂)·e⁰

0=(–(1/4)e⁰–(1/2)·0+C₁)·e^–0+((1/2)·0–(1/4)e⁰+C₂)·e⁰ (#)

y`=((–(1/4)e<sup>2x</sup>–(1/2)x+C<sub>1</sub>)·e<sup>–x</sup>+((1/2)x–(1/4)e<sup>–2x</sup>+C<sub>2</sub>)·e<sup>x</sup>)`

y`(0)=...

0= (##)


Решаем систему

{(#)
{(##)