Задача 56733 x^3/3(x^2-5x+6) Исследовать средствами...
Условие
и построить ее график
Решение
x^2-5x+6≠0 ⇒ x≠2 и x≠3
D(y)=(–∞;2)U(2;3)U(3;+ ∞)
точки x=2 и x=3 не входят в область определения
Находим пределы слева и справа:
f(2-0)=lim_(x→2-0)f(x)=+ ∞
f(2+0)=lim_(x→2+0)f(x)=- ∞
Они бесконечные, значит
х=2 - [b]точка разрыва второго рода[/b]
х=2 - [i]вертикальная асимптота.[/i]
Находим пределы слева и справа:
f(3-0)=lim_(x→3-0)f(x)=- ∞
f(3+0)=lim_(x→3+0)f(x)=+ ∞
Они бесконечные, значит
х=3 - [b]точка разрыва второго рода[/b]
х=3 - [i]вертикальная асимптота.[/i]
2) Функция не является ни четной, ни нечетной.
у(-х)=((-х)^3)/3*((-x)^2-5*(-x)+6)=-x^3/(3*(x^2+5x+6))
y(-x)≠y(x)
y(-x)≠-y(x)
3)lim_(x→ -бесконечность))f(x)=-бесконечность
lim_(x→+бесконечность)f(x)=+бесконечность.
[i]Горизонтальных асимптот[/i] нет
4)
Наклонная асимптота это прямая y=kx+b
Находим
k=lim_(x→ ∞ )f(x))/x=1/3
Находим
b=lim_(x→∞ )(f(x)-kx)=lim_(x→+ ∞ )(5x^2-6x)/(3x^2-15x+18)=5/3
[b]y=(1/3)x+(5/3) [/b] - [i]наклонная асимптота.[/i]
5) f(x)=0
x^3=0
x=0 - точка пересечения с осью Ох и с осью Оу
[b]Исследование функции с помощью производной[/b]
6)
y`=(3x^2*(3x^2-15x+18)-x^3*(3x^2-15x+18))/(3x^2-15x+18)^2
y`=0
x^4-10x^3+18x^2=0
x^2*(x^2-10+18)=0
D=28
x=0; x=5 ± sqrt(7)
Знак производной:
_____+__ (5-sqrt(7) ) __-__ (0) __- ___ (5+sqrt(7))___+___
x=5+sqrt(7) – точка [b]минимума[/b], производная меняет знак с – на +
x=5-sqrt(7) – точка [b]максимума[/b], производная меняет знак с + на -
y`>0 на (- ∞ ;2) и на (2; 5-sqrt(7)) и на (5+sqrt(7);+ ∞)
функция [b]возрастает[/b] на на (- ∞ ;2) и на (2; 5-sqrt(7)) и на (5+sqrt(7);+ ∞)
y`<0 на (5-sqrt(7);3) и на (3;5+sqrt(7) )
функция [b]убывает[/b] на (5-sqrt(7);3) и на (3;5+sqrt(7) )
7)
y`` >0 при х ∈ (- ∞ ;2)U(3 ;+∞ )
Функция [b]выпукла вниз [/b] при х ∈ (- ∞ ;2)U(3 ;+∞ )
y`` < 0 при х ∈ (2 ;3)
Функция [b]выпукла вверх [/b] при х ∈ (2 ;3)
Точек перегиба нет.
