Задача 56733 x^3/3(x^2-5x+6) Исследовать средствами...

andrei

5 января 2021 г. в 02:08

x³/3(x²–5x+6) Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию

и построить ее график

exponenta

5 января 2021 г. в 12:40

★

1)
x²–5x+6≠0 ⇒ x≠2 и x≠3
D(y)=(–∞;2)U(2;3)U(3;+ ∞)

точки x=2 и x=3 не входят в область определения

Находим пределы слева и справа:
f(2–0)=lim_x→2–0f(x)=+ ∞
f(2+0)=lim_x→2+0f(x)=– ∞

Они бесконечные, значит

х=2 – точка разрыва второго рода

х=2 – вертикальная асимптота.


Находим пределы слева и справа:
f(3–0)=lim_x→3–0f(x)=– ∞
f(3+0)=lim_x→3+0f(x)=+ ∞

Они бесконечные, значит

х=3 – точка разрыва второго рода

х=3 – вертикальная асимптота.

2) Функция не является ни четной, ни нечетной.
у(–х)=((–х)³)/3·((–x)²–5·(–x)+6)=–x³/(3·(x²+5x+6))

y(–x)≠y(x)

y(–x)≠–y(x)


3)lim_{x→ –∞})f(x)=–∞
lim_x→+∞f(x)=+∞.

Горизонтальных асимптот нет

4)
Наклонная асимптота это прямая y=kx+b

Находим

k=lim_{x→ ∞} f(x))/x=1/3

Находим

b=lim_x→∞ (f(x)–kx)=lim_{x→+ ∞} (5x²–6x)/(3x²–15x+18)=5/3

y=(1/3)x+(5/3) – наклонная асимптота.

5) f(x)=0
x³=0
x=0 – точка пересечения с осью Ох и с осью Оу



Исследование функции с помощью производной

6)

y`=(3x²·(3x²–15x+18)–x³·(3x²–15x+18))/(3x²–15x+18)²


y`=0

x⁴–10x³+18x²=0

x²·(x²–10+18)=0

D=28

x=0; x=5 ± √7

Знак производной:
_____+__ (5–√7 ) __–__ (0) __– ___ (5+√7)___+___

x=5+√7 – точка минимума, производная меняет знак с – на +

x=5–√7 – точка максимума, производная меняет знак с + на –




y`>0 на (– ∞ ;2) и на (2; 5–√7) и на (5+√7;+ ∞)
функция возрастает на на (– ∞ ;2) и на (2; 5–√7) и на (5+√7;+ ∞)

y`<0 на (5–√7;3) и на (3;5+√7 )
функция убывает на (5–√7;3) и на (3;5+√7 )


7)



y`` >0 при х ∈ (– ∞ ;2)U(3 ;+∞ )

Функция выпукла вниз при х ∈ (– ∞ ;2)U(3 ;+∞ )


y`` < 0 при х ∈ (2 ;3)

Функция выпукла вверх при х ∈ (2 ;3)

Точек перегиба нет.