Задача 56692 ...

S.T

2 января 2021 г. в 11:55

Найдите площадь внутри кривой r = 2cos(4φ), но вне круга r = 1.

exponenta

2 января 2021 г. в 12:12

★

2cos(4φ) = 1 ⇒ cos4 φ =1/2 ⇒ 4 φ = ± (π/3)+2πn, n ∈ Z

φ =± (π/12)+(π/2)·n, n ∈ Z

Найдем площадь одной части ( см. скрин 1) и умножим на 4

$S=4\cdot (S_{2}-S_{1})=4\cdot \frac{1}{2} ∫ ^{\frac{π}{12}}_{-\frac{π}{12}} (2cos4 φ)^2d φ -4\cdot \frac{1}{2} ∫ ^{\frac{π}{12}}_{-\frac{π}{12}}1^2d φ =$

формула: $2cos^2 α =1+cos2 α$

$=2\cdot ∫ ^{\frac{π}{12}}_{-\frac{π}{12}}4\cdot (1+cos8 φ )d φ -2\cdot ∫ ^{\frac{π}{12}}_{-\frac{π}{12}}d φ =(8 φ +sin8 φ-2 φ ) |^{\frac{π}{12}}_{-\frac{π}{12}}=(6φ +sin8 φ ) |^{\frac{π}{12}}_{-\frac{π}{12}}=π+2sin\frac{2π}{3}=π+1$