Задача 56311 ...

5fe01cc4ec9d2930a089990a

21 декабря 2020 г. в 06:56

π/2
∫ (dx / cos² (4x))
0

5f3ea7e3faf909182968ddd9

21 декабря 2020 г. в 09:08

★

Табличный интеграл
∫ dx/cos²x=tgx+C

Формула верна и для функции u=u(x)
∫ du/cos²u=tgu+C

Но du обычно расшифровано в условии, т.е написано u`(x)·dx или только одно dx как в Вашем примере.

∫ dx/cos²4x

Обозначив
u=4x
du=4dx

можно решать заменой переменной.

Но высший пилотаж – решение в одну строчку.


4·dx

Вот этой четверки и не хватает для применения формулы.

На число всегда можно умножить и разделить. Поэтому решение в одну строчку выглядит так:

∫^π/2₀ dx/cos²4x=(1/4)∫^π/2₀ 4·dx/cos²4x=(1/4)∫^π/2₀ d(4x)/cos²4x=(1/4)tg(4x)|^π/2₀=

=(1/4)tg (2π)–(1/4)tg0=0