Задача 56209 Исследование функции и построить...

5fda1373ec9d2930a0897d48

16 декабря 2020 г. в 17:07

Исследование функции и построить график.Можно с пояснениями пожалуйста
y=4x²–x⁴
и
y=3x²–x³

5f3ea7e3faf909182968ddd9

16 декабря 2020 г. в 19:26

★

1.
1) D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет

2) Функция является четной.
у(–х)=4·(–х)²–(–x)⁴=4x²–x⁴
y(–x)=y(x)

3)lim_{x→ +∞})f(x)=–∞
lim_x→–∞f(x)=–∞.

Горизонтальных асимптот нет

Наклонной асимптоты нет, так как
k=lim_x→∞(3+2x²–x⁴)/x=∞

4) f(x)=0

4x²–x⁴=0

x⁴–4x²=0
x²·(x²–4)=0
x²·(x–2)·(x+2)=0

x=0 или x= ± 2

(–2;0); (0;0); (2;0) –точки пересечения с осью Ох.

При х=0 у=0
(0;0) – точка пересечения с осью Оу.

5)
y`=(4x<sup>2</sup>–x<sup>4</sup>)`

y`=8x–4x³;

y`=0

8x–4x³=0
4x·(2–x²)=0

x=0 или 2–x²=0 ⇒х=±√2

Знак производной
_+__ (–√2) ___–___ (0) __+__ (√2 ) __–__


x=0 –минимума, производная меняет знак с – на +

x=–√2 и х=√2 – точки максимума, производная меняет знак с + на –

y`>0 при x∈ (–∞;–√2) и x∈ (0;√2)
Функция возрастает при x∈ (–∞;–√2) и x∈ (0;√2)

y`<0 при x∈ (–√2;0) и (√2;+∞)
убывает при x∈ (–√2;0) и (√2;+∞)


7)y``=(8x–4x³)`=8–12x²

y``=0

8–12x²=0

x= ± √2/3 –точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак .

Функция выпукла вверх на (– ∞ ;–√2/3) и на (√2/3;+ ∞ )
выпукла вниз на (–√2/3;√2/3)



2.
Область определения (– ∞ ;+ ∞ )

y`=(3x<sup>2</sup>–x<sup>3</sup>)`=6x–3x²
y`=0
6x–3x²=0
3x·(2–x)=0
x=0 или х=2

Расставляем знак производной

Например, так : y`(10) <0
далее чередуем справа налево:

__–__ (0) _+___ (2) ___–__

х=2 – точка максимума, производная меняет знак с + на –
х=0 – точка минимума, производная меняет знак с – на +

y`< 0 на (– ∞ ;0) и на (2;+ ∞ )
Функция убывает на на (– ∞ ;0) и на (2;+ ∞ )

y`>0 на (0;2)
Функция возрастает на на (0;2)


y``=(6x–3x²)`

y``=6–6x

y``=0

x=1 – точка перегиба, вторая производная меняет знак с + на –

y``>0 на (– ∞ ;1)
Функция выпукла вниз на (– ∞ ;1)

y``< 0 на (1;+ ∞ )
Функция выпукла вверх на (1;+ ∞ )