Задача 56209 Исследование функции и построить...
Условие
y=4x^2-x^4
и
y=3x^2-x^3
Решение
1) D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет
2) Функция является четной.
у(-х)=4*(-х)^2-(-x)^4=4x^2-x^4
y(-x)=y(x)
3)lim_(x→ +бесконечность))f(x)=-бесконечность
lim_(x→-бесконечность)f(x)=-бесконечность.
Горизонтальных асимптот нет
Наклонной асимптоты нет, так как
k=lim_(x→бесконечность)(3+2x^2-x^4)/x=бесконечность
4) f(x)=0
4x^2-x^4=0
x^4-4x^2=0
x^2*(x^2-4)=0
x^2*(x-2)*(x+2)=0
x=0 или x= ± 2
(-2;0); (0;0); (2;0) -точки пересечения с осью Ох.
При х=0 у=0
(0;0) - точка пересечения с осью Оу.
5)
y`=(4x^2-x^4)`
y`=8x-4x^3;
y`=0
8x-4x^3=0
4x*(2-x^2)=0
x=0 или 2-x^2=0 ⇒х=±sqrt(2)
Знак производной
_+__ (-sqrt(2)) ___-___ (0) __+__ (sqrt(2) ) __-__
x=0 –минимума, производная меняет знак с - на +
x=-sqrt(2) и х=sqrt(2) - точки максимума, производная меняет знак с + на -
y`>0 при x∈ (-бесконечность;-sqrt(2)) и x∈ (0;sqrt(2))
Функция возрастает при x∈ (-бесконечность;-sqrt(2)) и x∈ (0;sqrt(2))
y`<0 при x∈ (-sqrt(2);0) и (sqrt(2);+бесконечность)
убывает при x∈ (-sqrt(2);0) и (sqrt(2);+бесконечность)
7)y``=(8x-4x^3)`=8-12x^2
y``=0
8-12x^2=0
x= ± sqrt(2/3) -точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак .
Функция выпукла вверх на (- бесконечность ;-sqrt(2/3)) и на (sqrt(2/3);+ бесконечность )
выпукла вниз на (-sqrt(2/3);sqrt(2/3))
2.
Область определения (- ∞ ;+ ∞ )
y`=(3x^2-x^3)`=6x-3x^2
y`=0
6x-3x^2=0
3x*(2-x)=0
x=0 или х=2
Расставляем знак производной
Например, так : y`(10) <0
далее чередуем справа налево:
__-__ (0) _+___ (2) ___-__
х=2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
х=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
y`< 0 на (- ∞ ;0) и на (2;+ ∞ )
Функция убывает на на (- ∞ ;0) и на (2;+ ∞ )
y`>0 на (0;2)
Функция возрастает на на (0;2)
y``=(6x-3x^2)`
y``=6-6x
y``=0
x=1 - точка перегиба, вторая производная меняет знак с + на -
y``>0 на (- ∞ ;1)
Функция выпукла вниз на (- ∞ ;1)
y``< 0 на (1;+ ∞ )
Функция выпукла вверх на (1;+ ∞ )
