Задача 55704 2. Задана функция y=f(x). Установить,...

5fb7eb0264081d1dafcb0354

20.11.2020 19:13:30

2. Задана функция y=f(x). Установить, является ли она непрерывной. В случае разрыва функции в некоторой точке найти её пределы слева и справа, классифицировать характер разрыва. Изобразить схематично график.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

20.11.2020 22:51:34

★

На (- ∞ ;-1) функция непрерывна, так как y=2x непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (-1;1) функция непрерывна, так как y=x^2+1 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (1;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=3-x непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

Значит, надо выяснить непрерывность функции в точках х=-1 и х=1

Находим предел слева:
lim_(x → -1-0)f(x)=lim_(x →-1 -0)(2х)=-2

Находим предел справа:
lim_(x → -1+0)f(x)=lim_(x →-1 +0)(x^2+1)=2

предел слева ≠ пределу справа
Функция имеет скачок ([i]конечный[/i]) в точке x=-1
х=-1 - [i]точка разрыва первого рода[/i]


Находим предел слева:
lim_(x →1 -0)f(x)=lim_(x → 1-0)(x^2+1)=2

Находим предел справа:
lim_(x →1 +0)f(x)=lim_(x → 1+0)(3-x)=2

х=1 - [i]точка непрерывности [/i]

предел слева = пределу справа и равен значению функции в точке 2

f(1)=1^2+1=2