Задача 55682 ...
Условие
log5(x+2)^2*log(1/2)x^2 - 4log5(x+2) + 4log2(-x) + 4 ≤ 0
Решение
[m]\left\{\begin{matrix}
x+2 >0\\ -x > 0\end{matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin{matrix}
x >-2\\ x < 0\end{matrix}\right.[/m] ⇒[red] [b] x ∈ (-2;0)[/b][/red]
В условиях ОДЗ, т.е при [red] [b] x ∈ (-2;0)[/b][/red]
[m]log_{5}(x+2)^2=2log_{5}|x+2|=2log_{5}(x+2)[/m]
[m]log_{\frac{1}{2}}x^2=-2log_{2}|x|=-2log_{2}(-x)[/m]
Тогда уравнение принимает вид:
[m]2log_{5}(x+2)\cdot (-2log_{2}(-x))-4log_{5}(x+2)+4log_{2}(-x)+4 ≤0 [/m]
Группируем:
[m](-4log_{5}(x+2)\cdot log_{2}(-x)-4log_{5}(x+2))+(4log_{2}(-x)+4) ≤0 [/m]
[m]-4log_{5}(x+2)\cdot (log_{2}(-x)+1)+4\cdot (log_{2}(-x)+1) ≤ 0[/m]
[m]-4\cdot (log_{2}(-x)+1)\cdot (log_{5}(x+2)-1) ≤ 0[/m]
Умножаем на (-1/4):
[m](log_{2}(-x)+1)\cdot (log_{5}(x+2)-1) ≥ 0[/m]
Произведение неотрицательно если множители одного знака, оба ≥ или оба ≤ )
[m]\left\{\begin{matrix}log_{2}(-x)+1 ≥ 0\\log_{5}(x+2)-1 ≥ 0\end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix}
log_{2}(-x)+1 ≤ 0\\log_{5}(x+2)-1 ≤ 0\end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}log_{2}(-x) ≥ -1\\log_{5}(x+2) ≥ 1\end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix}
log_{2}(-x) ≤ -1\\log_{5}(x+2) ≤ 1\end{matrix}\right.[/m]
1=log_(a)a; -1=log_(a)(1/a); a>0; a ≠ 1
[m]\left\{\begin{matrix}log_{2}(-x) ≥ log_{2}\frac{1}{2}\\log_{5}(x+2) ≥ log_{5}5\end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix}
log_{2}(-x) ≤ log_{2}\frac{1}{2}\\log_{5}(x+2) ≤ log_{5}5\end{matrix}\right.[/m]
Логарифмические функции с основанием 2 и 5 обе возрастающие, поэтому при переходе от неравенств для значений функций к неравенствам с аргументами знак не меняем:
[m]\left\{\begin{matrix}(-x) ≥ \frac{1}{2}\\x+2 ≥5\end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix}
(-x) ≤ \frac{1}{2}\\x+2 ≤ 5\end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix} x≤- \frac{1}{2}\\x ≥3\end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix}
x ≥ - \frac{1}{2}\\x ≤ 3\end{matrix}\right.[/m]
первая система не имеет общих точек или x ∈ [[m]-\frac{1}{2};3[/m]]
С учетом ОДЗ окончательный ответ:[[m]-\frac{1}{2};0[/m])
