Задача 55600 ...

лисёнок

15 ноября 2020 г. в 14:56

Найти неопределенный интеграл ∫sin(x/2) cos(x/4) dx, подсказка: используем формулу:

sin α cos β = (sin (α + β) + sin (α – β)) / 2

exponenta

15 ноября 2020 г. в 17:40

★

$sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{4}=\frac{sin(\frac{x}{2}+\frac{x}{4})+sin(\frac{x}{2}-\frac{x}{4})}{2}=\frac{sin\frac{3x}{4}+sin\frac{x}{4}}{2}=$

$∫ sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{4} dx= ∫\frac{sin\frac{3x}{4}+sin\frac{x}{4}}{2}dx=$

$=\frac{1}{2} ∫ sin\frac{3x}{4}dx+\frac{1}{2} ∫ sin\frac{x}{4}dx=$

d((3/4)x)=(3/4)dx и d(x/4)=(1/4)dx ⇒

dx=(4/3)d((3/4)x) и dx=4·d((1/4)x)

$=\frac{1}{2} \cdot\frac{4}{3}∫ sin\frac{3x}{4}d\frac{3x}{4}+\frac{1}{2} \cdot 4∫ sin\frac{x}{4}d\frac{x}{4}=$

$=\frac{2}{3}\cdot (-cos\frac{3x}{4})+2 \cdot (-cos\frac{x}{4})+C$