Задача 55591 2(y’+xy)=xy^2...
Условие
Решение
Решение методом Бернулли, находим у в виде произведения u*v
y=u·v
Находим
y`=u`·v+u·v`
Подставляем в уравнение:
u`·v+u·v`+x·u·v=(1/2)x*y^2
u`·v+u(v`+x·v)=(1/2)x*y^2
Выбираем функцию v так,чтобы
v`+x·v=0
Решаем уравнение с разделяющимися переменными
v`+x·v=0 ⇒ dv/dx=–x·v⇒ dv/v=–xdx ⇒ ∫ dv/v=–∫ xdx ⇒ ln|v|=–x^2/2 ⇒ [b]v=e^(–x^2/2)
[/b]
Тогда данное уравнение принимает вид
u`·e^(–x^2/2)+0=(1/2)x*(u*v)^2
u`·e^(–x^2/2)=(1/2)x*(u)^2*(e^(–x^2/2))^2
u`=(1/2)x*(u)^2*(e^(–x^2/2)) - уравнение с разделяющимися переменными.
u`=du/dx
du/u^2=(1/2)x*(e^(–x^2/2))dx
Интегрируем:
∫ du/u^2= ∫ (1/2)x*(e^(–x^2/2))
[b](-1/u)=(-1/2)e^(-x^2/2) + C[/b] ⇒ u=
⇒ y=u*v=...
