Задача 55569 Известно, что f(x) — многочлен степени n...

Chagri

13 ноября 2020 г. в 19:54

Известно, что f(x) — многочлен степени n и при всех значениях переменной х выполняется равенство f(x) = f(–x). Докажите:
1) n — четное натуральное число или нуль;
2) коэффициенты многочлена f(x) при нечетных степенях x равны 0.

При каких значениях a и с многочлен f(x) делится на многочлен h(x):
1) f(x) = x⁴ – 3x³ + 3x² + ax + c, h(x) = x² – 3x + 2;
2) f(x) = x⁴ – 2x³ + ax + 2, h(x) = x² + x + c?

exponenta

13 ноября 2020 г. в 23:00

★

f(x):h(x)=g(x) ⇒ f(x)=h(x)·g(x)

1)
x⁴–3x63+3x²+ax+c=(x²–3x+2)·(x²+px+q)

Раскрываем справа скобки:

x⁴–3x³+3x²+ax+c=x⁴–3x³+2x²+px³–3px²+2px+q·x²–3qx+2q

приводим многочлен к стандартному виду:

x⁴–3x³+3x²+ax+c=x⁴–(3–p)x³+(2–3p+q)x²+(2p–3q)x+2q


Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной:

–3=–(3–p)
3=2–3p+q
a=2p–3q
c=2q

решаем систему 4–х уравнений с четырьмя переменными.

p=0
q=1
a=2·0–3·1=–3
c=2·1=2