Задача 55472 (x^2+2xy-y^2)dx+(y^2+2xy-x^2)dy=0...
Условие
Решение
P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0
где P(x;y) и Q(x;y) -однородные функции второго порядка
Делим на x^2
[m](1+2\frac{y}{x}-(\frac{y}{x})^2)dx=-((\frac{y}{x})^2+2\frac{y}{x}-1)dy[/m]
и решаем заменой:
[m]\frac{y}{x}=u ⇒ y=x\cdot u ⇒ dy=xdu+udx[/m]
Подставляем в уравнение:
[m] (1+2u-u^2)dx=-(u^2+2u-1)(xdu+udx)[/m]
[m] (1+2u-u^2)dx=-(u^2+2u-1)xdu[/m]-([red][m]u^3+2u^2-u[/m][/red])*[m]dx[/m]
[m](1+2u-u^2[/m]+[red][m]u^3+2u^2-u[/m][/red])*[m]dx=-(u^2+2u-1)\cdot xdu[/m]
[m](u^3+u^2+u+1)dx=-(u^2+2u-1)xdu [/m] - уравнение с разделяющимися переменными.
[m]\frac{dx}{x}=-\frac{u^2+2u-1}{u^3+u^2+u+1}du[/m]
Интегрируем:
[m] ∫ \frac{dx}{x}=- ∫ \frac{u^2+2u-1}{u^3+u^2+u+1}du[/m]- см. интегрирование дробно-рациональных функций
