Задача 55416 Решить систему уравнений (желательно...
Условие
Решение
[m]\left\{\begin{matrix}
x`(t)=3x-y+t\cdot e^{t}\\y`(t)=-x+3y \end{matrix}\right.[/m]
Выразим из второго уравнения [m]x[/m] и подставим в первое уравнение:
[m]\left\{\begin{matrix}
(3y-y`(t))`=3\cdot (3y-y`(t))-y+t\cdot e^{t}\\x=3y-y`(t)\end{matrix}\right.[/m]
Решаем первое уравнение:
[m]3y`(t)-y``(t)=9y-3y`(t)-y+t\cdot e^{t}[/m]
[m]y``(t)-6y`(t)+8y=t\cdot e^{t}[/m]
получили линейное [i]неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
[/i]
Решаем однородное уравнение:
[m]y``(t)-6y`(t)+8y=0[/m]
Cоставляем характеристическое уравнение:
[m]k^2-6k+8=0[/m]
D=36-4*8=4
[m]k_{1}=2[/m] или [m]k_{2}=4[/m]
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(общее однород)=[m]C_{1}e^{2t} +C_{2}e^{4t}[/m]
Правая часть f(t)=t\cdot e^{t}
Находим частное решение в виде:
y_(частное )=[m](at+b)\cdot e^{t}[/m]
y`_(частное )=[m]((at+b)\cdot e^{t})`=a\cdot e^{t}+(at+b)\cdot e^{t}[/m]
y``_(частное )=[m]((at+b)\cdot e^{t})``=(a\cdot e^{t}+(at+b)\cdot e^{t})`=a\cdot e^{t}+a\cdot e^{t}+(at+b)\cdot e^{t}=ate^{t}+(2a+b)\cdot e^{t}[/m]
и подставляем в неоднородное уравнение [m]y``(t)-6y`(t)+8y=t\cdot e^{t}[/m]
[m]ate^{t}+(2a+b)\cdot e^{t}-6\cdot(a\cdot e^{t}+(at+b)\cdot e^{t}) +8\cdot (at+b)\cdot e^{t}=t\cdot e^{t}[/m]
[m]3at\cdot e^{t}-(4a+13b)\cdot e^{t}=t\cdot e^{t}[/m]
находим a и b:
3a=1 ⇒ a=1/3
4a+13b=0 ⇒ b=-4/39
y_(общее неоднородного)=y_(общее однородного)+y_(частное)=[m]C_{1}e^{2t} +C_{2}e^{4t}+(\frac{1}{3}t-\frac{4}{39})\cdot e^{t}[/m]
Находим
x_(общее)=[m]3y-y`=3C_{1}e^{2t} +3C_{2}e^{4t}+3(\frac{1}{3}t-\frac{4}{39})\cdot e^{t}-\frac{1}{3}\cdot e^{t}+(\frac{1}{3}t-\frac{4}{39})\cdot e^{t}[/m]
x_(общее)=[m]3C_{1}e^{2t} +3C_{2}e^{4t}+(\frac{4}{3}t-\frac{29}{39})\cdot e^{t}[/m]
Итак, общее решение системы:
[m]\left\{\begin{matrix}
x(t)=3C_{1}e^{2t} +3C_{2}e^{4t}+(\frac{4}{3}t-\frac{29}{39})\cdot e^{t}\\y(t)=C_{1}e^{2t} +C_{2}e^{4t}+(\frac{1}{3}t-\frac{4}{39})\cdot e^{t}\end{matrix}\right.[/m]
Начальные условия:
x(0)=0
y(0)=0
приводят к системе
[m]\left\{\begin{matrix}
x(0)=3C_{1}e^{0} +3C_{2}e^{0}+(\frac{4}{3}\cdot 0-\frac{29}{39})\cdot e^{0}\\y(0)=C_{1}e^{0} +C_{2}e^{0}+(\frac{1}{3}\cdot -\frac{4}{39})\cdot e^{0}\end{matrix}\right.[/m]
из которой найдем C_(1) и С_(2)
