Задача 55411 ...
Условие
Даны векторы a = –3m + 4n и b = 5m –7n, где |m| =2, |n| = 6,∠(m,n) =4π/3.
Найти:
а) (3а –2b)( 3а + 4b),
б) Пр_в(3а + 4b),
d) cos ∠ (a, b)
Решение
Векторная [b]алгебра[/b], поэтому как в алгебре раскрываем скобки, приводим подобные:
[m]3\vec{a}-2\vec{b}=3\cdot (-3\vec{m}+4\vec{n})-2\cdot (5\vec{m}-7\vec{n})=[/m]
[m]=-9\vec{m}+12\vec{n}-10\vec{m}+14\vec{n}=-19\vec{m}+26\vec{n}[/m]
[m]3\vec{a}+4\vec{b}=3\cdot (-3\vec{m}+4\vec{n})+4\cdot (5\vec{m}-7\vec{n})=[/m]
[m]=-9\vec{m}+12\vec{n}+20\vec{m}-28\vec{n}=11\vec{m}-16\vec{n}[/m]
[m](3\vec{a}-2\vec{b})\cdot (3\vec{a}+4\vec{b})=(-19\vec{m}+26\vec{n})\cdot (11\vec{m}-16\vec{n})=[/m]
[m]=-209\vec{m}\cdot \vec{m}+286 \vec{n}\cdot \vec{m}+304\vec{m}\cdot \vec{n}-416\vec{n}\cdot 11\vec{n}=[/m]
По определению
скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
[m]=-209|\vec{m}|\cdot |\vec{m}|\cdot cos 0+590\cdot | \vec{m}|\cdot |\vec{n}|\cdot cos \frac{4π}{3}-416\cdot |\vec{n}|\cdot |\vec{n}|\cdot cos 0=[/m]
[m]cos0=1[/m] ; [m]cos \frac{4π}{3}=-\frac{1}{2}[/m]
Подставляем длины из условия и считаем....
б)
пр[m]_{\vec{a}}(3\vec{a}+\vec{b})=\frac{(3\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{a}}{|3\vec{a}+\vec{b}|}[/m]
[m]3\vec{a}+\vec{b}=3\cdot (-3\vec{m}+4\vec{n})+\cdot (5\vec{m}-7\vec{n})=[/m]
[m]=-9\vec{m}+12\vec{n}+5\vec{m}-7\vec{n}=-4\vec{m}+5\vec{n}[/m]
[m]\vec{a}=-3\vec{m}+4\vec{n}[/m]
Находим скалярное произведение векторов:
[m](3\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{a}=(-4\vec{m}+5\vec{n})\cdot (-3\vec{m}+4\vec{n})[/m]
= так же как в п. а) раскрываем скобки и ...
Находим длину вектора [m]3\vec{a}+\vec{b}[/m]
Так как
[m]|3\vec{a}+\vec{b}|^2=(3\vec{a}+\vec{b})(3\vec{a}+\vec{b})=...[/m]
раскрываем скобки и ...