Задача 55401 ...

5f9e732d930cfb5b34aab0bb

4 ноября 2020 г. в 22:48

3.2.13. Единпчные векторы ē₁, ē₂, ē₃ удовлетворяют условию ē₁ + ē₂ + ē₃ = 0. Найти ē₁ · ē₂ + ē₂ · ē₃ + ē₃ · ē₁.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

5 ноября 2020 г. в 09:35

★

[m]\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}=0 ⇒ (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}})\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}})=0[/m]⇒ (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}})²=0[/m]

Возводим в квадрат:

[m](\vec{e_{1}})^2+(\vec{e_{2}})^2+(\vec{e_{3}})^2+2\vec{e_{1}}\cdot \vec{e_{2}}+2\vec{e_{1}}\cdot \vec{e_{3}}+2\vec{e_{2}}\cdot \vec{e_{3}}=0[/m]

Так как векторы единичные

[m](\vec{e_{1}})^2=|\vec{e_{1}}|=1[/m]; [m](\vec{e_{2}})^2=|\vec{e_{2}}|=1[/m]; [m](\vec{e_{3}})^2=|\vec{e_{3}}|=1[/m].



[m]2\cdot (\vec{e_{1}}\cdot \vec{e_{2}}+\vec{e_{1}}\cdot \vec{e_{3}}+\vec{e_{2}}\cdot \vec{e_{3}})=-3[/m]

[m]\vec{e_{1}}\cdot \vec{e_{2}}+\vec{e_{1}}\cdot \vec{e_{3}}+\vec{e_{2}}\cdot \vec{e_{3}}=-1,5[/m]