Задача 55372 Помогите решить задачу.Найти решение...

5f81597093f741676573ce17

08.11.2020 12:18:28

Помогите решить задачу.Найти решение задачи Коши.Номер 12

5f3ea7e3faf909182968ddd9

08.11.2020 12:44:28

★

Решаем методом Бернулли, т.е находим решение в виде произведения двух произвольных функций

y(x)=u(x)*v(x)

Для простоты записи:

y=u*v

Находим
y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v`+(1/x)*u*v=[b](x+1)e^(x)/x[/b]

u`*v+u(v`+(1/x)*v)=[b](x+1)e^(x)/x[/b]

Выбираем функцию v так,чтобы
v`+(1/x)*v=0

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

v`+(1/x)*v=0 ⇒ dv/dx=-(1/x)*v⇒ dv/v=-(dx/x) ⇒ ∫ dv/v=-∫dx/x ⇒ ln|v|=-ln|x| ⇒ [b]v=(1/x)[/b]

C считают равной 0



Тогда данное уравнение принимает вид

u`*(1/x)=[b](x+1)e^(x)/x[/b]

u`=(x+1)*e^(x) - уравнение с разделяющимися переменными

u`=du/dx


du= ∫ [b](x+1)e^(x)/x[/b]dx [ [i]интегрирование по частям[/i]]=(x+1)*e^(x)- ∫ e^(x)dx=

=(x+1)*e^(x)- e^(x)+C;


[red]u=(x*e^(x)+C[/red]


y=u*v=([red]x*e^(x)+C[/red])*(1/x)

y=e^(x)/x +(C/x) -общее решение


y(1)=e

y(1)=e+C

e+C=e

C=0


y=x*e^(x)- решение задачи Коши