Задача 55231 ...
Условие
Решение
[m] ∫ x\cdot (x-2)^2dx=[/m] упрощаем подынтегральное выражение, раскрываем скобки:
[m] ∫ x\cdot (x^2-4x+4)dx=∫ (x^3-4x^2+4x)dx=\frac{x^4}{4}-4\frac{x^3}{3}+4\cdot\frac{x^2}{2}+C=\frac{1}{4}x^4-\frac{4}{3}x^3+2\cdot x^2+C[/m]
2.
[m] ∫ \frac{x^3-4x^2+x}{x^3}dx=[/m] делим почленное каждое слагаемое числителя на знаменатель:
[m] =∫ (\frac{x^3}{x^3}-\frac{4x^2}{x^3}+\frac{x}{x^3})dx= ∫(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})dx=x-ln|x|+∫x^{-2}dx=x-ln|x|+\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C =x-ln|x|-\frac{1}{x}+C[/m]
3.
[m] ∫ \frac{sinx}{(1-cosx)^2}dx=[/m]
замена переменной:
[blue][m] 1-cosx=t [/m] ⇒ [m]d( 1-cosx)=dt [/m];[m]( 1-cosx)`dx=dt [/m]; [m]sinx dx=dt [/m][/blue]
[m] =∫ \frac{dt}{t^2}= ∫t^{-2}dt=\frac{t^{-2+1}}{-2+1}+C=-\frac{1}{t}+C= [/m] обратный переход от t к х
[m]=-\frac{1}{1-cosx}+C[/m]
4.
[m] ∫ e^{2cosx}\cdot sinx dx =[/m]
замена переменной:
[blue][m] 2cosx=t [/m] ⇒ [m] d(2cosx)=dt [/m]; [m] (2cosx)`dx=dt [/m]; [m] -2sinx dx=dt [/m];[m] sindx=-\frac{1}{2}dt [/m];[/blue]
[m]=∫ e^{t}\cdot(-\frac{1}{2}dt)=-\frac{1}{2}∫ e^{t}dt=-\frac{1}{2} e^{t}+C=[/m] обратный переход от t к х
[m] = -\frac{1}{2} e^{2cosx}+C[/m]
Остальные задачи выставляйте отдельными вопросами.
Админ ЗАПРЕЩАЕТ решать более двух задач в одном выставленном вопросе... Я итак решила четыре интеграла
