Задача 55156 Вычислить интеграл по данной линии ...

Вычислить интеграл по данной линии

z=x+iy

Rez=x

z·Rez=(x+iy)·x=x²+i·(xy)

u=x²
v=xy

∫_|z|=1 z·Rezdz= ∫ _{окр x²+y²=1}x²dx–xydy+i· ∫ _{окр x²+y²=1}xydx+x²dy

x= ρ cos φ
y= ρ sin φ

x²+y²= ρ ²

ρ =1 ⇒
x= cos φ ⇒ dx=–sin φ d φ
y= sin φ ⇒ dy=cos φ d φ

0 ≤ φ ≤ 2π

= ∫ ^2π₀cos² φ (–sin φ d φ)– cos φ·sin φ ·(cos φ d φ)+ i· ∫ ^2π₀cos φ·sin φ ·(–sin φ d φ)–cos² φ· (cos φ d φ )=


=2∫ ^2π₀cos² φ ·(–sin φ d φ)–i·∫ ^2π₀(sin²φ+cos²φ)·cos φ d φ=


=2∫ ^2π₀cos² φ d(cos φ )–i∫ ^2π₀(1)·cos φ d φ=

=(2·(cos³ φ )/3–i·sin φ )|^2π₀=0