Задача 55156 Вычислить интеграл по данной линии ...
Условие
Решение
Rez=x
z*Rez=(x+iy)*x=x^2+i*(xy)
u=x^2
v=xy
[r]∫_(L) f(z)dz= ∫ _(L)u(x;y)dx-v(x;y)dy+i* ∫ _(L)v(x;y)dx+u(x;y)dy[/r]
∫_(|z|=1) z*Rezdz= ∫ _(окр x^2+y^2=1)x^2dx-xydy+i* ∫ _(окр x^2+y^2=1)xydx+x^2dy
x= ρ cos φ
y= ρ sin φ
x^2+y^2= ρ ^2
ρ =1 ⇒
x= cos φ ⇒ dx=[green]-sin φ d φ [/green]
y= sin φ ⇒ dy=[blue]cos φ d φ[/blue]
0 ≤ φ ≤ 2π
= ∫ ^(2π)_(0)cos^2 φ [green](-sin φ d φ[/green])- cos φ*sin φ *([blue]cos φ d φ[/blue])+ i* ∫ ^(2π)_(0)cos φ*sin φ *([green]-sin φ d φ[/green])-cos^2 φ* ([blue]cos φ d φ[/blue] )=
=2∫ ^(2π)_(0)cos^2 φ *(-sin φ d φ)-i*∫ ^(2π)_(0)(sin^2φ+cos^2φ)*cos φ d φ=
=2∫ ^(2π)_(0)cos^2 φ d(cos φ )-i∫ ^(2π)_(0)(1)*cos φ d φ=
=(2*(cos^3 φ )/3-i*sin φ )|^(2π)_(0)=0