Задача 55153 ...
Условие
Решение
[m]sin2x=2sinx\cdot cosx[/m]
[m]2\sqrt{2}sinx\cdot cosx-\sqrt{2}cosx+2sinx-1 >0[/m]
Группируем:
[m](2\sqrt{2}sinx\cdot cosx+2sinx)-(\sqrt{2}cosx+1 )>0[/m]
Раскладываем на множители:
[m]2sinx\cdot(\sqrt{2}cosx+1)-(\sqrt{2}cosx+1 )>0[/m]
[m] (\sqrt{2}cosx+1 )\cdot (2sinx -1 ) > 0[/m]
Произведение положительно, когда множители одного знака:
[m]\left\{\begin{matrix} \sqrt{2}cosx+1> 0\\2sinx -1 >0 \end{matrix}\right.[/m] [b] или[/b][m]\left\{\begin{matrix}
\sqrt{2}cosx+1 < 0\\2sinx -1 <0 \end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}cosx > -\frac{1}{\sqrt{2}} \\sinx>\frac{1}{2} \end{matrix}\right.[/m] [b]или[/b][m]\left\{\begin{matrix}
cosx < -\frac{1}{\sqrt{2}}\\sinx<\frac{1}{2} \end{matrix}\right.[/m]
на [0;π]
cм. рис.
[m]\left\{\begin{matrix} -\frac{3π}{4} < x < \frac{3π}{4}\\ \frac{π}{6}< x <\frac{5π}{6}\end{matrix}\right.[/m] [b]или[/b][m]\left\{\begin{matrix}\frac{3π}{4}+2πk < x <\frac{5π}{4}+2πk, k ∈ Z \\\frac{5π}{6} < x <\frac{π}{6} + 2π \end{matrix}\right.[/m]
Ответ = объединение двух ответов
О т в е т. [m]x ∈ (\frac{π}{6};\frac{3π}{4}) \cup (\frac{5π}{6} ; π][/m]
