Задача 55123 С помощью выделения полного квадрата...

5f9738e112e5947a1d580514

29.10.2020 10:39:39

С помощью выделения полного квадрата привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Определить тип кривой. Найти её полуоси, эксцентриситет, координаты вершин и фокусов, уравнения директрис и асимптот (если они имеются). Сделать чертеж. 4х^2-16х+5у+8=0

5f3ea7e3faf909182968ddd9

29.10.2020 11:42:05

★

так как y^2 отсутствует, выделяем полный квадрат только с переменной х:

[m](4x^2-16x)+5y+8=0[/m]


[m]4\cdot (x^2-4x)+5y+8=0[/m]

До формулы полного квадрата не достает 4 в скобках, добавляем 4 и отнимаем 4
[m]4\cdot (x^2-4x+4-4)+5y+8=0[/m]

Раскрываем скобки и оставляем только первые три слагаемых в скобках
[m]4\cdot (x^2-4x+4)-4\cdot 4+5y+8=0[/m]

[m]4\cdot (x^2-4x+4)+5y-8=0[/m]

[m]4\cdot (x-2)^2+5(y-\frac{8}{5})=0[/m] ⇒ это парабола

Новые переменные:

[m]x`=x-2[/m]

[m]y`=y-\frac{8}{5}[/m]

[m]4(x`)^2+5(y`)=0[/m] ⇒ это парабола вида: (x`)^2=-(5/4)y`

(см. приложение 2)

Для неё:

-2p=-(5/4)

[m]p=\frac{5}{8})[/m]

p/2=[m]\frac{5}{16})[/m]

Фокус F ( 0;p/2)

Значит [m]F(0;\frac{5}{16}))[/m]

Уравнение директрисы

D: y=-p/2

Значит

D: [m] y=-\frac{5}{16})[/m]


Теперь к данной параболе возвращаемся

[m]4\cdot (x-2)^2+5(y-\frac{8}{5})=0[/m] ⇒ это парабола со смещенным центром.

Центр в точке [m](2; \frac{8}{5})[/m]

Значит, фокус в точке:

[m]F(2; 5/16))[/m]

Уравнение директрисы

D: [m]y=-\frac{5}{16}+\frac{8}{5}[/m]

... складываем дроби...