Задача 55123 С помощью выделения полного квадрата...

Elizabeth

29 октября 2020 г. в 10:39

С помощью выделения полного квадрата привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Определить тип кривой. Найти её полуоси, эксцентриситет, координаты вершин и фокусов, уравнения директрис и асимптот (если они имеются). Сделать чертеж. 4х²–16х+5у+8=0

exponenta

29 октября 2020 г. в 11:42

★

так как y² отсутствует, выделяем полный квадрат только с переменной х:

$(4x^2-16x)+5y+8=0$


$4\cdot (x^2-4x)+5y+8=0$

До формулы полного квадрата не достает 4 в скобках, добавляем 4 и отнимаем 4
$4\cdot (x^2-4x+4-4)+5y+8=0$

Раскрываем скобки и оставляем только первые три слагаемых в скобках
$4\cdot (x^2-4x+4)-4\cdot 4+5y+8=0$

$4\cdot (x^2-4x+4)+5y-8=0$

$4\cdot (x-2)^2+5(y-\frac{8}{5})=0$ ⇒ это парабола

Новые переменные:

$x`=x-2$

$y`=y-\frac{8}{5}$

$4(x`)^2+5(y`)=0$ ⇒ это парабола вида: (x`)<sup>2</sup>=–(5/4)y`

(см. приложение 2)

Для неё:

–2p=–(5/4)

$p=\frac{5}{8})$

p/2=$\frac{5}{16})$

Фокус F ( 0;p/2)

Значит $F(0;\frac{5}{16}))$

Уравнение директрисы

D: y=–p/2

Значит

D: $y=-\frac{5}{16})$


Теперь к данной параболе возвращаемся

$4\cdot (x-2)^2+5(y-\frac{8}{5})=0$ ⇒ это парабола со смещенным центром.

Центр в точке $(2; \frac{8}{5})$

Значит, фокус в точке:

$F(2; 5/16))$

Уравнение директрисы

D: $y=-\frac{5}{16}+\frac{8}{5}$

... складываем дроби...