Задача 55052 sinx+sin2x+sin3x > 0...

Маргарита_247742080

27 октября 2020 г. в 21:33

sinx+sin2x+sin3x > 0

exponenta

27 октября 2020 г. в 22:53

★

$sinx+sin2x+sin3x >0$

$(sinx+sin3x)+sin2x >0$

$2sin\frac{x+3x}{2}\cdot cos\frac{x-3x}{2}+sin2x >0$

$2sin2x \cdot cos(-x)+sin2x >0$

Так как cos(–x)=cosx, то

$2sin2x \cdot (2 cos+1) >0$

Произведение положительно, когда множители одного знака:

$\left\{\begin{matrix}sin2x > 0\\cosx+\frac{1}{2} >0 \end{matrix}\right.$ или$\left\{\begin{matrix} sin2x < 0\\cosx+\frac{1}{2} <0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}sin2x > 0\\cosx>-\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$ или$\left\{\begin{matrix} sin2x < 0\\cosx<-\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} 0+2πk < 2x < π+2πk, k ∈ Z\\ -\frac{2π}{3} + 2πn < x <\frac{2π}{3} + 2πn, n ∈ Z \end{matrix}\right.$ или$\left\{\begin{matrix}-π+πk <2 x < 0+2πk, k ∈ Z \\\frac{2π}{3} + 2πn < x <\frac{4π}{3} + 2πn, n ∈ Z \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} πk < x <\frac{π}{2}+πk, k ∈ Z\\ -\frac{2π}{3} + 2πn < x <\frac{2π}{3} + 2πn, n ∈ Z \end{matrix}\right.$ или$\left\{\begin{matrix}-\frac{π}{2}+πk < x < πk, k ∈ Z \\\frac{2π}{3} + 2πn < x <\frac{4π}{3} + 2πn, n ∈ Z \end{matrix}\right.$

cм. рис.
$x ∈ (-\frac{2π}{3} + 2πm; -\frac{π}{2}+2πm) \cup (2πm; \frac{π}{2}+2πm)$, m ∈ Z или $x ∈ (\frac{2π}{3} + 2πm; π+2πm)$, m ∈ Z

Ответ – объединение двух ответов

О т в е т. $x ∈ (-\frac{2π}{3} + 2πm; -\frac{π}{2}+2πm) \cup (2πm; \frac{π}{2}+2πm)\cup (\frac{2π}{3} + 2πm; π+2πm)$, m ∈ Z