Задача 55029 Вычислить величину момента силы...

Анна_18679583

27 октября 2020 г. в 13:53

Вычислить величину момента силы $\vec{F}$, приложенной к точке $А$, относительно точки $О$, если

$\overrightarrow{OA} = \vec{r}, \ \vec{F} = 7p - 2q, \ \vec{r} = p + 3q, \ |\vec{p}| = \frac{1}{2}, \ |\vec{q}| = 2, \ (\vec{p}, \vec{q}) = \frac{\pi}{2}$.

exponenta

27 октября 2020 г. в 14:53

★

m=AO × F,

AO × F=|AO| ·| F|·sin ∠ ( AO, F)

По условию
OA =r


Cкалярный квадрат:

r·r=|r|·|r|·cos0=|r|·|r|·1=|r|²

⇒ |r|=$\sqrt{\vec{r}\cdot \vec{r}}$

Поэтому находим:

r·r=(p+3·q)·(p+3·q)=

=p·p+6·p·q+9 q·q=

=|p|·|p|·cos0+6·|p|·|q|·cos(π/2)+9·|q|·|q|·cos0=

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1+6\cdot \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 0+9\cdot 2\cdot 2\cdot 1=$

=36$\frac{1}{4}$ ⇒

$|\vec{A0} |=|\vec{OA} |=|\vec{r}|=\sqrt{\frac{145}{4}}=\frac{\sqrt{145}}{2}$


Аналогично

$\vec{F}\cdot \vec{F}=|\vec{F}|\cdot |\vec{F}|\cdot cos 0=|\vec{F}|\cdot |\vec{F}|\cdot 1=|\vec{F}|^2$

⇒
$\vec{F}\cdot \vec{F}=49\vec{p}\cdot \vec{p}+4\vec{q}\cdot \vec{q}=49\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+ 4\cdot 2\cdot 2=\frac{113}{4}$


$|\vec{F}|=\sqrt{\vec{F}\cdot \vec{F}}$



Теперь надо найти угол между (AO, F)


А для этого найти $|\vec{F}-\vec{AO}|$

F–AO=7 p–2 q–(–p–3 q)=8 p+q;

$|\vec{F}-\vec{AO}|^2=64\vec{p}\cdot \vec{p}+\vec{q}\cdot \vec{q}=64\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+ 2\cdot 2=20$


По теореме косинусов

$|\vec{F}-\vec{AO}|^2=|\vec{F}|^2+|\vec{AO}|^2-2|\vec{F}|\cdot |\vec{AO}|\cdot cos ∠ (\vec{AO}, \vec{F})=$

Тогда

$20=\frac{113}{4}+\frac{145}{4}-2\cdot \sqrt{\frac{113}{4}}\cdot \sqrt{\frac{145}{4}}\cdot cos ∠ (\vec{AO}, \vec{F})=$

$cos ∠ (\vec{AO}, \vec{F})=\frac{89}{\sqrt{113}\cdot \sqrt{145}}$


Находим

$sin ∠ (\vec{OA}, \vec{F})=\sqrt{1-cos^2 ∠ (\vec{AO}, \vec{F})}=\sqrt{1-\frac{89^2}{113\cdot 145}}=\frac{\sqrt{113\cdot 145-89^2}}{\sqrt{113}\cdot \sqrt{145}}=$

и подставляем

$|\vec{AO}| =\sqrt{\frac{145}{4}}$
$| \vec{F}|=\sqrt{\frac{113}{4}}$
$sin ∠ ( \vec{AO}, \vec{F})=$

во вторую строчку

Остальное самостоятельно. Это не просто задача. Это целый типовой расчет. Трудитесь... Все расписала, что надо делать...