Задача 55029 Нужно подробное решение...
Условие
Решение
vector{AO} × vector{F}=|vector{AO}| *| vector{F}|*sin ∠ ( vector{AO}, vector{F})
По условию
vector{OA} =vector{r}
Cкалярный квадрат:
vector{r}*vector{r}=|vector{r}|*|vector{r}|*cos0=|vector{r}|*|vector{r}|*1=|vector{r}|^2
⇒ |vector{r}|=[m]\sqrt{\vec{r}\cdot \vec{r}}[/m]
Поэтому находим:
vector{r}*vector{r}=(vector{p}+3*vector{q})*(vector{p}+3*vector{q})=
=vector{p}*vector{p}+6*vector{p}*vector{q}+9 vector{q}*vector{q}=
=|vector{p}|*|vector{p}|*cos0+6*|vector{p}|*|vector{q}|*cos(π/2)+9*|vector{q}|*|vector{q}|*cos0=
[m]=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1+6\cdot \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 0+9\cdot 2\cdot 2\cdot 1=[/m]
=36[m]\frac{1}{4}[/m] ⇒
[m]|\vec{A0} |=|\vec{OA} |=|\vec{r}|=\sqrt{\frac{145}{4}}=\frac{\sqrt{145}}{2}[/m]
Аналогично
[m]\vec{F}\cdot \vec{F}=|\vec{F}|\cdot |\vec{F}|\cdot cos 0=|\vec{F}|\cdot |\vec{F}|\cdot 1=|\vec{F}|^2[/m]
⇒
[m]\vec{F}\cdot \vec{F}=49\vec{p}\cdot \vec{p}+4\vec{q}\cdot \vec{q}=49\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+ 4\cdot 2\cdot 2=\frac{113}{4}[/m]
[m]|\vec{F}|=\sqrt{\vec{F}\cdot \vec{F}}[/m]
Теперь надо найти угол между (vector{AO}, vector{F})
А для этого найти [m]|\vec{F}-\vec{AO}|[/m]
vector{F}-vector{AO}=7 vector{p}-2 vector{q}-(-vector{p}-3 vector{q})=8 vector{p}+vector{q};
[m]|\vec{F}-\vec{AO}|^2=64\vec{p}\cdot \vec{p}+\vec{q}\cdot \vec{q}=64\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+ 2\cdot 2=20[/m]
По теореме косинусов
[m]|\vec{F}-\vec{AO}|^2=|\vec{F}|^2+|\vec{AO}|^2-2|\vec{F}|\cdot |\vec{AO}|\cdot cos ∠ (\vec{AO}, \vec{F})=[/m]
Тогда
[m]20=\frac{113}{4}+\frac{145}{4}-2\cdot \sqrt{\frac{113}{4}}\cdot \sqrt{\frac{145}{4}}\cdot cos ∠ (\vec{AO}, \vec{F})=[/m]
[m]cos ∠ (\vec{AO}, \vec{F})=\frac{89}{\sqrt{113}\cdot \sqrt{145}}[/m]
Находим
[m]sin ∠ (\vec{OA}, \vec{F})=\sqrt{1-cos^2 ∠ (\vec{AO}, \vec{F})}=\sqrt{1-\frac{89^2}{113\cdot 145}}=\frac{\sqrt{113\cdot 145-89^2}}{\sqrt{113}\cdot \sqrt{145}}=[/m]
и подставляем
[m]|\vec{AO}| =\sqrt{\frac{145}{4}}[/m]
[m]| \vec{F}|=\sqrt{\frac{113}{4}}[/m]
[m]sin ∠ ( \vec{AO}, \vec{F})=[/m]
во вторую строчку
Остальное самостоятельно. Это не просто задача. Это целый типовой расчет. Трудитесь... Все расписала, что надо делать...