Задача 55004 ...

_wolf_228

26 октября 2020 г. в 20:46

Диагональ равносторонней трапеции равна d, узкий угол равен α. Найдите периметр и высоту трапеции, если боковые стороны трапеции равны наименьшему основанию.

exponenta

26 октября 2020 г. в 21:18

★

Пусть AB=CD=x
Тогда
BC=2x – наименьшее основание

Проведем высоты ВК и СМ

Из прямоугольного треугольника CMD:

CM=x·sin α
MD=x·cos α

AK=MD=x·cos α
KM=BC=2x

Тогда AD=AK+KM+MD=x·cos α +2x+x·cos α =2x·(1+cos α )

По теореме косинусов из Δ ACD:

AC²=AD²+CD²–2AD·CD·cos α

d²=(2x·(1+cos α ))²+x²–2·2x·(1+cos α )·cos α ⇒ находим х

и подставляем в


P=AB+BC+CD+AD=4x+2x(1+cos α )=2x·(3+cos α )

S=(1/2)·(AD+BC)·CM=(1/2)(2x(1+cos α )+2x)·x·sin α =(3/2)·x²(2+cos α)·sin α