Задача 54951 Решить диф....

Ирина

25 октября 2020 г. в 12:03

Решить диф. уравнения:

y''–8y'+7y=x²

xy'=y·ln(y)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

25 октября 2020 г. в 13:04

★

1.
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y''–8y'+7y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k²–8k+7=0
D=64–28=36=6²

k₁=1 и k₂7= – корни действительные различные,


поэтому общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:

y_{общее одн}=C₁e^x+C₂e^7x – общее решение однородного уравнения




Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид, поэтому частное решение имеет вид:

y_{частное неодн}=Аx²+Bx+D


y`_{частное неодн} =2Ax+B
y``_{частное неодн}=2A

Подставляем в данное неоднородное уравнение:

(2A)–8·(2Ax+B)+7·(Аx²+Bx+D )=x²

два многочлена равны, если равны их степени и равны коэффициенты

при одинаковых степенях переменной

7·Аx²+Вx+(7D –8В+2А)=x²

7А=1
B=0
7D–8B+2A=0

A=1/7
D=–2/49


y_{общее неодн}=у_{общее однород} +y_{частное неодн}

– общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

y_{общее неодн}=C₁e^x+C₂e^7x+(1/7)x²–(2/49)



Нужно решение второго уравнения – задавайте новый вопрос