Задача 54951 Решить диф....

5f953f0df4c6ff7008206538

25.10.2020 12:03:14

Решить диф. уравнения:

y''-8y'+7y=x^2

xy'=y*ln(y)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

25.10.2020 13:04:04

★

1.
Это линейное [b]неоднородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y''-8y'+7y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-8k+7=0
D=64-28=36=6^2

k_(1)=1 и k_(2)7= - корни действительные различные,


поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:

y_(общее одн)=C_(1)e^(x)+C_(2)e^(7x) - общее решение однородного уравнения




Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид, поэтому частное решение имеет вид:

y_(частное неодн)=Аx^2+Bx+D


y`_(частное неодн) =2Ax+B
y``_(частное неодн)=2A

Подставляем в данное неоднородное уравнение:

(2A)-8*(2Ax+B)+7*(Аx^2+Bx+D )=x^2

два многочлена равны, если равны их степени и равны коэффициенты

при одинаковых степенях переменной

7*Аx^2+Вx+(7D -8В+2А)=x^2

7А=1
B=0
7D-8B+2A=0

A=1/7
D=-2/49


y_(общее неодн)=у_(общее однород) +y_(частное неодн)

- общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

y_(общее неодн)=C_(1)e^(x)+C_(2)e^(7x)+(1/7)x^2-(2/49)



Нужно решение второго уравнения - задавайте новый вопрос