Задача 54949 Найти все значения параметра а, при...

5f6852d13934fb23001a34cf

25.10.2020 01:28:41

Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
sin(x+4a) + sin ((x^2 - 6x - 7a)/2) = 4x -x^2 - a
не имеет действительных решений

5f3ea7e3faf909182968ddd9

25.10.2020 08:19:19

★

Представим уравнение в виде:
[m]sint+sinz+2t+2z=0[/m]

так как

[m]x^2-4x+a=2(x+4a)+2\cdot \frac{x^2-6x-7}{2}[/m]

Рассматриваем функцию

[m]y=sint+2t[/m]

Функция нечетная, так как

Область определения t ∈ ( - ∞; + ∞)

[m]y(-t)=sin(-t)+2\cdot (-t)=-(sint)-2t=-(sint+2t)=-y(t)[/m]

Исследуем ее на монотонность.

[m]y`=cost+2 >0 [/m]

значит функция

[m]y=sint+2t[/m] - строго возрастает при любых t

[m]y=-(sint+2t)[/m] - строго убывает при любых t

Данное уравнение:

[m]sint+2t=-(sinz+2z)[/m]

может иметь единственное решение при t=z

т.е

[m]x+4a=\frac{x^2-6x-7a}{2}[/m] ⇒ [m]x^2-8x-15a=0[/m]

[m]D=(-8)^2-4\cdot (-15a)=64+60a[/m]

Если D <0 уравнение не имеет действительных корней.

[m]64+60a<0[/m] ⇒ [m]a < -\frac{16}{15}[/m] - о т в е т