Задача 54949 Найти все значения параметра а, при...

malinovka

25 октября 2020 г. в 01:28

Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
sin(x+4a) + sin ((x² – 6x – 7a)/2) = 4x –x² – a
не имеет действительных решений

exponenta

25 октября 2020 г. в 08:19

★

Представим уравнение в виде:
[m]sint+sinz+2t+2z=0[/m]

так как

[m]x^2-4x+a=2(x+4a)+2\cdot \frac{x^2-6x-7}{2}[/m]

Рассматриваем функцию

[m]y=sint+2t[/m]

Функция нечетная, так как

Область определения t ∈ ( – ∞; + ∞)

[m]y(-t)=sin(-t)+2\cdot (-t)=-(sint)-2t=-(sint+2t)=-y(t)[/m]

Исследуем ее на монотонность.

[m]y`=cost+2 >0 [/m]

значит функция

[m]y=sint+2t[/m] – строго возрастает при любых t

[m]y=-(sint+2t)[/m] – строго убывает при любых t

Данное уравнение:

[m]sint+2t=-(sinz+2z)[/m]

может иметь единственное решение при t=z

т.е

[m]x+4a=\frac{x^2-6x-7a}{2}[/m] ⇒ [m]x^2-8x-15a=0[/m]

[m]D=(-8)^2-4\cdot (-15a)=64+60a[/m]

Если D <0 уравнение не имеет действительных корней.

[m]64+60a<0[/m] ⇒ [m]a < -\frac{16}{15}[/m] – о т в е т