Задача 54948 Найдите все значения а, при каждом из...

malinovka

25 октября 2020 г. в 01:24

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 64x⁶ – (3x+a)³ + 4x² – 3x = a имеет более одного корня

exponenta

25 октября 2020 г. в 09:09

★

$64x^6 – (3x+a)^3 + 4x^2 – 3x = a$

$64x^3+4x^2=(3x+a)^3+(3x+a)$


Уравнение имеет вид:

$z^3+z=t^3+t$

$z=4x^2$
$t=3x+a$

Исследуем функцию

$y=t^3+t$

Она монотонно возрастает при любом t ∈ (– ∞ ;+ ∞ ), так как $y`=3t^2+1>0$

Значит каждое значение принимает ровно в одной точке: $f(t)=f(z)$ ⇔ $t=z$

$4x^2=3x+a$ квадратное уравнение имеет более одного корня тогда и только тогда когда

D>0

$9+16a>0$ ⇒