Задача 54948 Найдите все значения а, при каждом из...

5f6852d13934fb23001a34cf

25.10.2020 01:24:39

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 64x^6 - (3x+a)^3 + 4x^2 - 3x = a имеет более одного корня

5f3ea7e3faf909182968ddd9

25.10.2020 09:09:07

★

[m]64x^6 – (3x+a)^3 + 4x^2 – 3x = a[/m]

[m]64x^3+4x^2=(3x+a)^3+(3x+a)[/m]


Уравнение имеет вид:

[m]z^3+z=t^3+t[/m]

[m]z=4x^2[/m]
[m]t=3x+a[/m]

Исследуем функцию

[m]y=t^3+t[/m]

Она монотонно возрастает при любом t ∈ (- ∞ ;+ ∞ ), так как [m]y`=3t^2+1>0[/m]

Значит каждое значение принимает ровно в одной точке: [m]f(t)=f(z)[/m] ⇔ [m]t=z[/m]

[m]4x^2=3x+a[/m] квадратное уравнение имеет более одного корня тогда и только тогда когда

D>0

[m]9+16a>0[/m] ⇒