Задача 54800 В основании четырехугольной пирамиды...

5f6852d13934fb23001a34cf

21.10.2020 21:33:26

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 4 и ВС = 3. Длины боковых ребер пирамиды SA = sqrt(11) , SB = 3sqrt(3), SD = 2sqrt(5).
а) Докажите, что SA - высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SС и плоскостью ASB.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

21.10.2020 23:10:00

★

а)
Δ SBA:
SB=3sqrt(3)
AB=4
SA=sqrt(11)

SB^2=AB^2+SA^2
(3sqrt(3))^2=16+11
27=27

По теореме обратной теореме Пифагора треугольник Δ SBA- прямоугольный, SB - гипотенуза
AB и SA - катеты

SA ⊥ AB

Δ SDA:
SD=2sqrt(5)
AD=BC=3
SA=sqrt(11)

SD^2=AD^2+SA^2
(2sqrt(5))^2=9+11
20=20

По теореме обратной теореме Пифагора треугольник Δ SBA- прямоугольный, SB - гипотенуза

AD и SA - катеты

SA ⊥ AD

SA ⊥ AB
SA ⊥ AD

SA перпендикулярна двум пересекающимся прямым пл АВСD, значит перпендикулярна плоскости АВСD


б)
Угол между прямой и плоскостью- угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость

AB ⊥ BC
SA ⊥ пл. АВС ⇒
SB ⊥ BC по теореме о трех перпендикулярах

SB- проекция SC на пл. SAB



∠ (SC, SB)= ∠ (SC, пл. SAB)= ∠ BSC

Из прямоугольного Δ SBC :
tg∠ BSC =BC/SB=3/3sqrt(3)=sqrt(3)/3 ⇒ ∠ BSC =30 °