Задача 54694 ...

Daniel

20 октября 2020 г. в 14:07

Вычислить интеграл по данной линии.

∫ (z · z) dz, AB – отрезок прямой, z_A = 0, z_B = 1 + 3i;

exponenta

20 октября 2020 г. в 14:36

★

z=x+iy
z=x–iy

z·z=(x+iy)(x–iy)=x²–(iy)²=x²+y²


f(z)=z·z=x²+y²

u(x;y)=Ref(z)=x²+y²
v(x;y)=Imf(z)=0

∫_L f(z)dz= ∫_L u(x;y)dx–v(x;y)dy+i· (∫_L v(x;y)dx+u(x;y)dy)


∫ _AB z·zdz= ∫_AB( x²+y²)dx–0·dy+i· (∫_AB 0·dx+(x²+y²)dy)=

АВ: y=3x –уравнение прямой АВ

x=t ⇒ dx=dt
y=3t ⇒ dy=3·dt
0 ≤ t ≤ 1

= ∫¹₀ ( t²+(3t)²)dt–0·(3·dt)+i· (∫¹₀ 0·dt+( t²+(3t)²)·(3·dt))=


= ∫¹₀ 10t²dt+i· (∫¹₀ 30t²dt)=

=10·(t³/3)|¹₀+i·(30·(t³/3))|¹₀=(10/3)+i·10