Задача 54693 Восстановить аналитическую в окрестности...

Daniel

20 октября 2020 г. в 14:06

Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию f(z) по известной действительной части u(x,y) или мнимой v(x,y) и значению f(zn).

u = 1 – e^x sin y,
f(0) = 1 + i;

exponenta

20 октября 2020 г. в 14:58

★

f(x+iy)=u(x;y)+i·v(x;y)

Функция u(x;y) и искомая функция v(x;y) должны удовлетворять условиям Коши–Римана:

∂ u/ ∂ x= ∂ v/ ∂ y
∂ u/ ∂ y=– ∂ v/ ∂x

u(x;y)=1–e^x·siny ⇒ ∂ u/ ∂ x=–e^x·siny ⇒ ∂ v/ ∂ y=–e^x·siny

Тогда

v(x;y)= ∫(–e^x·siny )dy=–e^x·(–cosy)+C(x)=e^x·cosy+C(x)

Найдем

∂ v/ ∂x =(e^x·cosy+C(x))`<sub>x</sub>=e<sup>x</sup>·cosy+C`(x)

∂ u/ ∂ y=– ∂ v/ ∂x ⇒∂ u/ ∂ y= (1–e^x·siny )`_y=–e^x·(cosy) ⇒

e^x·cosy+C`(x)=–(e<sup>x</sup>·cosy)⇒ C`(x)=0⇒C(x)=C ( просто константа)


f(x+iy)=u(x;y)+i·v(x;y)=(1–e^x·siny ) + i·(e^x·cosy+C)


f(x+iy)=1–(e^x·siny – i·e^x·cosy)+i·C

f(x+iy)=1–i·(e^x·cosy+i·e^xsiny ))+i·C+iC

стараемся записать функцию, как функцию зависящую от z=x+i·y или z=x–iy
и т.п.

f(z)=1–i·e^z+iC

Так как f(0)=1+i

f(0)=1–ie⁰+iC

1+i=1–ie⁰+iC

C=1


f(z)=1–i·e^z+i

Проверяйте, может где и ошиблась в знаках...

Принцип решения должен быть понятен...

Здесь еще одна задача такого же типа с решением
https://reshimvse.com/question/5f8b2de52123e0613fbe12da