Задача 54693 ...
Условие
Решение
Функция u(x;y) и [i]искомая функция[/i] v(x;y) должны удовлетворять условиям [b]Коши-Римана[/b]:
∂ u/ ∂ x= ∂ v/ ∂ y
∂ u/ ∂ y=- ∂ v/ ∂x
u(x;y)=1-e^(x)*siny ⇒ ∂ u/ ∂ x=[blue]-e^(x)*siny [/blue] ⇒ ∂ v/ ∂ y=[blue]-e^(x)*siny [/blue]
Тогда
v(x;y)= ∫([blue]-e^(x)*siny [/blue] )dy=-e^(x)*(-cosy)+C(x)=e^(x)*cosy+C(x)
Найдем
∂ v/ ∂x =(e^(x)*cosy+C(x))`_(x)=e^(x)*cosy+C`(x)
∂ u/ ∂ y=- ∂ v/ ∂x ⇒∂ u/ ∂ y= (1-e^(x)*siny )`_(y)=-e^(x)*(cosy) ⇒
e^(x)*cosy+C`(x)=-(e^(x)*cosy)⇒ C`(x)=0⇒C(x)=C ( просто константа)
f(x+iy)=u(x;y)+i*v(x;y)=(1-e^(x)*siny ) + i*(e^(x)*cosy+C)
f(x+iy)=[b]1[/b]-([red]e^(x)*siny - i*e^(x)*cosy[/red])+i*C
f(x+iy)=[b]1[/b]-i*([red]e^(x)*cosy+i*e^(x)siny )[/red])+i*C+iC
стараемся записать функцию, как функцию зависящую от z=x+i*y или vector{z}=x-iy
и т.п.
f(z)=1-i*e^(z)+iC
Так как f(0)=1+i
f(0)=1-ie^(0)+iC
1+i=1-ie^(0)+iC
C=1
[b]f(z)=1-i*e^(z)+i[/b]
Проверяйте, может где и ошиблась в знаках...
Принцип решения должен быть понятен...
Здесь еще одна задача такого же типа с решением
https://reshimvse.com/question/5f8b2de52123e0613fbe12da