Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 54652 Вычислить интеграл по данной...

Условие


Вычислить интеграл по данной линий
Помогите пожалуйста с примером)
Заранее спасибо)

математика ВУЗ 121

Решение

z=x+iy
z^2=(x+iy)^2=x^2+i*2xy+(i*y)^2=([b]x^2-y^2)[/b]++i*2xy

Rez^2=[b]x^2-y^2[/b]


f(z)=zRez^2=(x+iy)*(x^2-y^2)=(x^3-xy^2)+i*(x^2y-y^3)

u(x;y)=Ref(z)=x^3-xy^2
v(x;y)=Imf(z)=x^2y-y^3

∫_(L) f(z)dx= ∫_(L) u(x;y)dx-v(x;y)dy+i* (∫_(L) v(x;y)dx+u(x;y)dy)


∫ _(AB) z*Rez^2dz= ∫_(AB)( x^3-xy^2)dx-(x^2y-y^3)dy+i* (∫_(AB) (x^2y-y^3)dx+(x^3-xy^2)dy)=

АВ: y=2x -уравнение прямой АВ

x=t ⇒ dx=dt
y=2t ⇒ dy=2*dt
0 ≤ t ≤ 1

= ∫^(1)_(0) ( t^3-t*(2t)^2)dt-(t^2*(2t)-(2t)^3)2*dt+i* (∫^(1)_(0) ((t)^2*(2t)-(2t)^3)dt+(t^3-t*(2t)^2)*2dt)=


= ∫^(1)_(0) ( t^3-t*(2t)^2)dt-(t^2*(2t)-(2t)^3)2*dt+i* (∫^(1)_(0) ((t)^2*(2t)-(2t)^3)dt+(t^3-t*(2t)^2)*2dt)=

=∫^(1)_(0)9t^3dt+i*∫^(1)_(0)(-12t^3)dt=9*(t^4/4)|^(1)_(0)-i*(12*(t^4/4))|^(1)_(0)=[b](9/4)+i*3[/b]

Написать комментарий

Категория

Меню

Присоединяйся в ВК