Задача 54652 Вычислить интеграл по данной...
Условие
Вычислить интеграл по данной линий
Помогите пожалуйста с примером)
Заранее спасибо)
Решение
z^2=(x+iy)^2=x^2+i*2xy+(i*y)^2=([b]x^2-y^2)[/b]++i*2xy
Rez^2=[b]x^2-y^2[/b]
f(z)=zRez^2=(x+iy)*(x^2-y^2)=(x^3-xy^2)+i*(x^2y-y^3)
u(x;y)=Ref(z)=x^3-xy^2
v(x;y)=Imf(z)=x^2y-y^3
∫_(L) f(z)dx= ∫_(L) u(x;y)dx-v(x;y)dy+i* (∫_(L) v(x;y)dx+u(x;y)dy)
∫ _(AB) z*Rez^2dz= ∫_(AB)( x^3-xy^2)dx-(x^2y-y^3)dy+i* (∫_(AB) (x^2y-y^3)dx+(x^3-xy^2)dy)=
АВ: y=2x -уравнение прямой АВ
x=t ⇒ dx=dt
y=2t ⇒ dy=2*dt
0 ≤ t ≤ 1
= ∫^(1)_(0) ( t^3-t*(2t)^2)dt-(t^2*(2t)-(2t)^3)2*dt+i* (∫^(1)_(0) ((t)^2*(2t)-(2t)^3)dt+(t^3-t*(2t)^2)*2dt)=
= ∫^(1)_(0) ( t^3-t*(2t)^2)dt-(t^2*(2t)-(2t)^3)2*dt+i* (∫^(1)_(0) ((t)^2*(2t)-(2t)^3)dt+(t^3-t*(2t)^2)*2dt)=
=∫^(1)_(0)9t^3dt+i*∫^(1)_(0)(-12t^3)dt=9*(t^4/4)|^(1)_(0)-i*(12*(t^4/4))|^(1)_(0)=[b](9/4)+i*3[/b]