Задача 54652 Вычислить интеграл по данной...

5f75e2333c2bbb460a930c5b

19 октября 2020 г. в 19:30

Вычислить интеграл по данной линий
Помогите пожалуйста с примером)
Заранее спасибо)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

19 октября 2020 г. в 20:15

★

z=x+iy
z²=(x+iy)²=x²+i·2xy+(i·y)²=(x²–y²)++i·2xy

Rez²=x²–y²


f(z)=zRez²=(x+iy)·(x²–y²)=(x³–xy²)+i·(x²y–y³)

u(x;y)=Ref(z)=x³–xy²
v(x;y)=Imf(z)=x²y–y³

∫_L f(z)dx= ∫_L u(x;y)dx–v(x;y)dy+i· (∫_L v(x;y)dx+u(x;y)dy)


∫ _AB z·Rez²dz= ∫_AB( x³–xy²)dx–(x²y–y³)dy+i· (∫_AB (x²y–y³)dx+(x³–xy²)dy)=

АВ: y=2x –уравнение прямой АВ

x=t ⇒ dx=dt
y=2t ⇒ dy=2·dt
0 ≤ t ≤ 1

= ∫¹₀ ( t³–t·(2t)²)dt–(t²·(2t)–(2t)³)2·dt+i· (∫¹₀ ((t)²·(2t)–(2t)³)dt+(t³–t·(2t)²)·2dt)=


= ∫¹₀ ( t³–t·(2t)²)dt–(t²·(2t)–(2t)³)2·dt+i· (∫¹₀ ((t)²·(2t)–(2t)³)dt+(t³–t·(2t)²)·2dt)=

=∫¹₀9t³dt+i·∫¹₀(–12t³)dt=9·(t⁴/4)|¹₀–i·(12·(t⁴/4))|¹₀=(9/4)+i·3