Задача 54557 Найдите, при каких значениях параметра...

5f5f7f31116bb85615e04ab0

17.10.2020 21:42:05

Найдите, при каких значениях параметра [b]a[/b] уравнение

[block](x^2+x(2a-5)-4a+a^2)/(sqrt(x+a)-1) = 0[/block]

имеет два различных корня. В ответе укажите сумму целых значений параметра [b]a[/b]‚ удовлетворяющих условию задачи.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

17.10.2020 21:52:04

★

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля.

и с учетом области определения функции

sqrt(t): t ≥ 0

получаем систему:

[m]\left\{\begin{matrix}
x^2+x\cdot (2a-5)-4a+a^2=0\\\sqrt{x+a}-1\neq0\\ x+a \geq 0\end{matrix}\right.[/m]

Квадратное уравнение имеет два корня, если дискриминант квадратного уравнения

[m]D= (2a-5)^2-4\cdot (-4a+a^2)=4a^2-20a+25+16a-4a^2=25-4a[/m]


[m]D>0[/m]

[m]25-4a>0 [/m] ⇒ [m] a<\frac{25}{4}[/m]

[b][m]a<6,25[/m][/b]

Из второго неравенства:

[m]x ≠ 1-a[/m]

Проверяем при каких значениях параметра
[m] a [/m]

[m]x=1-a[/m] [i]является корнем [/i] числителя.

Подставляем [m]x=1-a[/m] в квадратный трехчлен числителя:

[m](1-a)^2+(1-a)\cdot (2a-5)-4a+a^2=0[/m]

[m]a=4[/m]

Значит [m]a=4[/m] следует исключить из ответа.

Получим (- ∞ ;4) U(4; 6,25)

Третье условие системы:

[m]x+a ≥ 0[/m]

означает, что

[m]x_{1} ≥ -a[/m]
[red]и[/red]
[m]x_{2} ≥ -a[/m]

[m]\frac{-(2a-5)-\sqrt{25-4a}}{2}\geq-a[/m] ⇒ [m]\frac{-2a+5-\sqrt{25-4a}+2a}{2}\geq 0[/m] ⇒ [m]5\geq\sqrt{25-4a}[/m] ⇒ a ≥ 0
[red]и[/red]
[m]\frac{-(2a-5)+\sqrt{25-4a}}{2}\geq-a[/m]⇒ [m]\frac{-2a+5+\sqrt{25-4a}+2a}{2}\geq 0[/m] ⇒ [m]5+\sqrt{25-4a}\geq 0[/m] - верно при всех а ≤ 6,25

Значит надо ограничить найденные выше значения параметра,

получим a ∈ [b][0 ;4) U(4; 6,25)[/b]

В ответе указать сумму целых значений:

1+2+3+5+6=[b]17[/b]


Ответ: 17