Задача 54556 Восстановить аналитическую в окрестности...

Умар

17 октября 2020 г. в 20:46

Восстановить аналитическую в окрестности точки , функцию ... по известной действительной части .... или мнимой .... и
значению ....

exponenta

17 октября 2020 г. в 21:08

★

f(x+iy)=u(x;y)+i·v(x;y)

Функция u(x;y) и искомая функция v(x;y) должны удовлетворять условиям Коши–Римана:

∂ u/ ∂ x= ∂ v/ ∂ y
∂ u/ ∂ y=– ∂ v/ ∂x

u(x;y)=x³–3xy²–x ⇒ ∂ u/ ∂ x=3x²–3y²–1 ⇒ ∂ v/ ∂ y=3x²–3y²–1

Тогда

v(x;y)= ∫(3x²–3y²–1 )dy=3x²y–y³–y+C(x)

Найдем

∂ v/ ∂x =(3x²y–y³–y+C(x))`<sub>x</sub>=6xy+C`(x)

∂ u/ ∂ y=– ∂ v/ ∂x ⇒ (x³–3xy²–x)`<sub>y</sub>=–(6xy+C`(x)) ⇒

–6xy=–6xy–C`(x) ⇒ C`(x)=0 и C(x)=C


f(x+iy)=u(x;y)+i·v(x;y)=(x³–3xy²–x) + i·(3x²y–y³–y+C)

f(x+iy)=(x³+i3x²y–3xy²–i·y³)–x– i·y+i·C

f(x+iy)=(x+iy)³–(x+iy)+iC

f(z)=z³–z+iC

Так как f(0)=0

f(0)=0²–0+i·С ⇒ C=0

f(z)=z³–z