Задача 54556 Восстановить аналитическую в окрестности...

5f75e2333c2bbb460a930c5b

17.10.2020 20:46:13

Восстановить аналитическую в окрестности точки , функцию ... по известной действительной части .... или мнимой .... и
значению ....

5f3ea7e3faf909182968ddd9

17.10.2020 21:08:58

★

f(x+iy)=u(x;y)+i*v(x;y)

Функция u(x;y) и [i]искомая функция[/i] v(x;y) должны удовлетворять условиям Коши-Римана:

∂ u/ ∂ x= ∂ v/ ∂ y
∂ u/ ∂ y=- ∂ v/ ∂x

u(x;y)=x^3-3xy^2-x ⇒ ∂ u/ ∂ x=[blue]3x^2-3y^2-1 [/blue] ⇒ ∂ v/ ∂ y=[blue]3x^2-3y^2-1 [/blue]

Тогда

v(x;y)= ∫([blue]3x^2-3y^2-1 [/blue] )dy=3x^2y-y^3-y+C(x)

Найдем

∂ v/ ∂x =(3x^2y-y^3-y+C(x))`_(x)=6xy+C`(x)

∂ u/ ∂ y=- ∂ v/ ∂x ⇒ (x^3-3xy^2-x)`_(y)=-(6xy+C`(x)) ⇒

-6xy=-6xy-C`(x) ⇒ C`(x)=0 и C(x)=C


f(x+iy)=u(x;y)+i*v(x;y)=(x^3-3xy^2-x) + i*(3x^2y-y^3-y+C)

f(x+iy)=(x^3+i3x^2y-3xy^2-i*y^3)-x- i*y+i*C

f(x+iy)=(x+iy)^3-(x+iy)+iC

f(z)=z^3-z+iC

Так как f(0)=0

f(0)=0^2-0+i*С ⇒ C=0

[b]f(z)=z^3-z[/b]