Задача 54458 ...
Условие
log^2_3(-log3x) + log3log^2_3x ≤ 3
Решение
[m]\left\{\begin{matrix}
x>0\\(-log_{3}x)>0\\log^2_{3}x >0\end{matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin{matrix}
x>0\\log_{3}x <0\\log^2_{3}x\neq0 \end{matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin{matrix}
x>0\\x <1\\x\neq1 \end{matrix}\right.[/m]⇒[m] x\in (0;1)[/m]
[red]Замена переменной:[/red]
[m](-log_{3}x)=t, [/m] t >0 cм ОДЗ⇒
[m](-log_{3}x)^2=t ^2[/m]⇒[m]t^2=log^{2}_{3}x[/m]
Неравенство принимает вид:
[m]log^2_{3}t +log_{3}t^2 ≤ 3[/m]
По свойству логарифма степени:
[m]log_{3}t^2=2log_{3}|t|=2log_{3}t[/m], t >0
Неравенство
[m]log^2_{3}t +2log_{3}t ≤ 3[/m]
[m]log^2_{3}t +2log_{3}t -3≤ 0[/m]
квадратное относительно [m]log_{3}t, [/m]
вводим новую переменную:
[m]log_{3}t=z [/m]
D=4+12=16
z_(1,2)= (-2 ± 4)/2;
z_(1)=-3 или z_(2)=1
неравенство верно при
[m]-3 ≤z ≤ 1[/m]
Обратный переход в переменной t:
[m]-3 ≤ log_{3}t ≤ 1[/m]
[m]-3\cdot log_{3}3 ≤ log_{3}t ≤ 1\cdot log_{3}3[/m]
По свойству логарифма степени:
[m]\cdot log_{3}3^{-3} ≤ log_{3}t ≤ log_{3}3[/m]
Логарифмическая функция с основанием 3 >1[i] возрастающая,[/i] поэтому
[m]3^{-3} ≤ t ≤ 3[/m]
[m]\frac{1}{27} ≤ t ≤ 3[/m]
Обратный переход в переменной x:
[m]\frac{1}{27} ≤ -log_{3}x ≤ 3[/m]
Умножаем на (-1): меняем знаки неравенства:
[m]-\frac{1}{27} ≥ log_{3}x ≥ -3[/m]
[m]-3 ≤ log_{3}x ≤ -\frac{1}{27}[/m]
[m]-3 \cdot log_{3}3 ≤ log_{3}x ≤ -\frac{1}{27}\cdot log_{3}3[/m]
По свойству логарифма степени:
[m] log_{3}3^{-3} ≤ log_{3}x ≤ log_{3}3^{ -\frac{1}{27}}[/m]
Логарифмическая функция с основанием 3 >1[i] возрастающая,[/i] поэтому
[m] 3^{-3} ≤ x ≤ 3^{ -\frac{1}{27}}[/m]
[m] \frac{1}{27} ≤ x ≤\frac{1}{ 3^{\frac{1}{27}}}[/m]
[m] \frac{1}{27} ≤ x ≤\frac{1}{ \sqrt[27]{3}}[/m]
C учетом ОДЗ, получаем ответ
[m][\frac{1}{27};\frac{1}{ \sqrt[27]{3}}][/m]
