Задача 54389 Найти область сходимости...
Условие
Пожалуйста помогите)
Пример на фото:
Решение
Рассматриваем ряд из модулей ∑ [m]\frac{10^{n}\cdot |x|^{n}}{\sqrt{n}}[/m]
и применяем к нему признак Даламбера
[m]lim_{n → ∞ }\frac{\frac{10^{n+1}\cdot |x|^{n+1}}{\sqrt{n+1}}}{\frac{10^{n}\cdot |x|^{n}}{\sqrt{n}}}=10|x|lim_{n → ∞ }\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}=10|x|[/m]
Если
[m]10|x|<1[/m] , то ряд сходится
Решаем неравенство:
[m] |x| <0,1[/m]
[m]-0,1 < x< 0,1[/m]
Проверяем сходимость в точках
x=–0,1
Получаем числовой ряд: ∑ [m]\frac{10^{n}\cdot (-0,1)^{n}}{\sqrt{n}}[/m]=∑ [m]\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}[/m]
Сходится по признаку Лейбница
x=0,1
Получаем числовой ряд: ∑ [m]\frac{10^{n}\cdot (0,1)|^{n}}{\sqrt{n}}[/m]=∑ [m]\frac{1}{\sqrt{n}}[/m]
Ряд расходится. Это обобщенный гармонический ряд вида ∑ [m]\frac{1}{n^{p}}[/m]
при p=1/2 ≤ 1 расходится.
О т в е т. [–0,1; 0,1)
2.13
Рассматриваем ряд из модулей ∑ [m]\frac{1}{\sqrt[3]{n\cdot |x|^{n}}}[/m]
и применяем к нему признак Даламбера
[m]lim_{n → ∞ }\frac{\frac{1}{\sqrt[3]{(n+1)\cdot |x|^{n+1}}}}{\frac{1}{\sqrt[3]{n\cdot |x|^{n}}}}=[/m] [m]\frac{1}{\sqrt[3]{|x|}}lim_{n → ∞ }\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{n+1}}=\frac{1}{\sqrt[3]{|x|}}[/m]
Если
[m]\frac{1}{\sqrt[3]{|x|}}<1[/m] , то ряд сходится
Решаем неравенство:
[m] \frac{1}{|x|} <1[/m]
[m]| x| >1[/m]
(– ∞ ;–1) U (1;+ ∞ )
Проверяем сходимость в точках
x=–1
Получаем числовой ряд: ∑ [m]\frac{1}{\sqrt[3]{n\cdot (-1)^{n}}}[/m]
Сходится по признаку Лейбница
x=1
Получаем числовой ряд: ∑ [m]\frac{1}{\sqrt[3]{n}}[/m] – ряд расходится
Это обобщенный гармонический ряд вида ∑ [m]\frac{1}{n^{p}}[/m]
при p =1/3 ≤ 1 расходится.