Задача 54313 Используя разложение подынтегральной...

5f75e2333c2bbb460a930c5b

12.10.2020 16:42:51

Используя разложение подынтегральной функций в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.
Нужна ваша помощь!
Please)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12.10.2020 17:42:07

★

[m]\int^{0,1}_{0}\frac{e^{x}-1}{x}dx=\int^{0,1}_{0}\frac{(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^(3))-1}{x}dx=[/m]

[m]=\int^{0,1}_{0}\frac{x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^(3))}{x}dx=\int^{0,1}_{0}\frac{x}{x}dx+\int^{0,1}_{0}\frac{\frac{x^2}{2}}{x}dx+\int^{0,1}_{0}\frac{\frac{x^3}{3}}{x}dx{x}dx+\int^{0,1}_{0}\frac{o(x^3)}{x}dx=[/m]

[m]=\int^{0,1}_{0}dx+\int^{0,1}_{0}\frac{x}{2}dx+\int^{0,1}_{0}\frac{x^2}{6}dx+\int^{0,1}_{0}o(x^2)dx=[/m]

[m]=(x)|^{0,1}_{0}+(\frac{x^2}{4})|^{0,1}_{0}+(\frac{x^3}{18})|^{0,1}_{0}+0=0,1+\frac{0,1^2}{4}+\frac{0,1^3}{18}\approx 0,1+0,0025+0,000056=0,102556[/m]

погрешность знакоположительного ряда не превышает суммы отброшенных слагаемых

т.е
[m]=\int^{0,1}_{0}\frac{\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+... }{x}dx=\int^{0,1}_{0}\frac{x^5}{5\cdot 24}dx+\int^{0,1}_{0}\frac{x^6}{6\cdot 120}dx=\frac{0,1^4}{96}+\frac{0,1^6}{720}+...[/m]